Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/285

toujours positive ou négative. On pourrait, de la même manière, chercher celles qui rendraient toujours positives ou négatives des quantités de la forme

$\mathrm {A} p^{4}+\mathrm {B} p^{3}q+\ldots \,;$

mais l’application de la méthode générale à ce cas serait sujette à des difficultés de calcul qui pourraient la rendre impraticable, et c’est là un problème d’Algèbre dont il serait à désirer qu’on pût avoir une solution complète.

58. Nous avons supposé jusqu’ici que les variables qui entrent dans la fonction sont indépendantes les unes des autres ; mais, s’il y avait entre elles une ou plusieurs équations, il faudrait commencer par éliminer, au moyen de ces équations, autant de variables dans la fonction proposée ; on chercherait ensuite la condition du maximum ou minimum par rapport aux variables qui seraient restées dans la fonction. C’est la méthode qui se présente naturellement ; mais on peut la simplifier beaucoup en conservant toutes les variables et réduisant l’élimination aux seules quantités $p,q,r,\ldots .$

En effet, supposons qu’on ait entre les variables $x,y,z,\ldots$ l’équation de condition

$\varphi (x,y,z,\ldots )=0\,;$

comme cette équation doit avoir lieu quelles que soient les valeurs de $x,y,z,\ldots ,$ elle aura donc lieu aussi en mettant $x+p,\ y+q,\ z+r,\ldots$ à la place de $x,y,z,\ldots \,;$ par conséquent, on aura, par un développement semblable à celui du n^o 78 (I^re Partie), l’équation

$p\varphi '(x)+q\varphi '(y)+r\varphi '(z)+\ldots +{\frac {1}{2}}p^{2}\varphi ''(x)+pq\varphi ''(x,y)+{\frac {1}{2}}q^{2}\varphi ''(y)+\ldots =0,$

d’où l’on pourra tirer la valeur de $p$ en série, qu’on substituera dans le développement de la fonction qui doit être un maximum ou un minimum ou bien on ajoutera simplement à ce développement la quantité qui forme le premier membre de l’équation précédente, multipliée par une quantité quelconque indéterminée qui pourra même être de la forme

$a+bp+cq+dr+\ldots +lp^{2}+mpq+\ldots ,$