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de sorte qu’on aura, par la formule générale du n^o 8,

$(x+i)^{m}=x^{m}+mx^{m-1}i+{\frac {m(m-1)}{2}}x^{m-2}i^{2}+{\frac {m(m-1)(m-2)}{2.3}}x^{m-3}i^{3}+\ldots ,$

ce qui est la formule connue du binôme, laquelle se trouve ainsi démontrée pour toutes les valeurs de $m$.

11. Soit en second lieu $f(x)=ax\,;$ on aura

$f(x+i)=a^{x+i}=a^{x}a^{i}.$

Ainsi tout se réduit à trouver les deux premiers termes de la série de $a^{i},$ développée suivant les puissances de $i$.

Soit, pour cela, $a=1+b\,;$ alors

$a^{i}=(1+b)^{i}=1+ib+{\frac {i(i-1)}{2}}b^{2}+{\frac {i(i-1)(i-2)}{2.3}}b^{3}+\ldots ,$

par la formule que nous venons de démontrer. Développant les produits de $i,\ i-1,\ i-2,\ldots$ et ordonnant les termes suivant les puissances de $i,$ on trouvera que les termes multipliés par $i$ forment cette série $i\left(b-{\frac {b^{2}}{2}}+{\frac {b^{3}}{3}}-\ldots \right).$

Donc, faisant pour abréger

$\mathrm {A} =b-{\frac {b^{2}}{2}}+{\frac {b^{3}}{3}}-\ldots =(a-1)-{\frac {(a-1)^{2}}{2}}+{\frac {(a-1)^{3}}{3}}-\ldots ,$

les deux premiers termes de la valeur de $a^{i}$ en série seront $1+\mathrm {A} i\,;$ on aura par conséquent

$f'(x)=\mathrm {A} a^{x}.$

On tirera de là, par la même opération répétée,

$f''(x)=\mathrm {A.A} a^{x}=\mathrm {A} ^{2}a^{x},\quad f'''(x)=\mathrm {A} ^{3}a^{x},\quad \ldots \,;$

on aura ainsi

$f(x+i)=a^{x+i}=a^{x}\left(1+\mathrm {A} i+{\frac {\mathrm {A} ^{2}i^{2}}{2}}+{\frac {\mathrm {A} ^{3}i^{3}}{2.3}}+\ldots \right).$