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Divisant par $a^{x}$ et changeant $i$ en $x,$ on aura la série connue

$a^{x}=1+\mathrm {A} x+{\frac {\mathrm {A} ^{2}x^{2}}{2}}+{\frac {\mathrm {A} ^{3}x^{3}}{2.3}}+\ldots .$

12. Si dans cette formule on fait $x=1,$ on aura

$a=1+\mathrm {A} +{\frac {\mathrm {A} ^{2}}{2}}+{\frac {\mathrm {A} ^{3}}{2.3}}+\ldots ,$

et, si l’on fait $x={\frac {1}{\mathrm {A} }},$ on aura

$a^{\frac {1}{\mathrm {A} }}=1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2.3}}+{\frac {1}{2.3.4}}+\ldots .$

Ainsi la quantité $a^{\frac {1}{\mathrm {A} }}$ est égale à un nombre constant, qui est la valeur de $a,$ lorsque $\mathrm {A} =1,$ et par la série précédente on trouve

$a^{\frac {1}{\mathrm {A} }}=2{,}71828\ 18284\ 59045\ldots .$

C’est le nombre qu’on désigne ordinairement par $e,$ de sorte que la relation entre $a$ et $\mathrm {A}$ se trouve exprimée d’une manière finie par l’équation $a^{\frac {1}{\mathrm {A} }}=e,$ laquelle donne $a=e^{\mathrm {A} }.$

Donc, si $f(x)=e^{mx},$ on aura $a=e^{m},\ \mathrm {A} =m,$ et par conséquent

$f'(x)=me^{mx},\quad f''(x)=m^{2}e^{mx},\quad f'''(x)=m^{3}e^{mx},\quad \ldots ,$

d’où l’on tirera, comme ci-dessus,

$e^{mx}=1+mx+{\frac {m^{2}x^{2}}{2}}+{\frac {m^{3}x^{3}}{2.3}}+\ldots .$

Or, dans l’équation $y=a^{x},$ $x$ est ce qu’on appelle le logarithme de $y,$ $a$ étant la base du système logarithmique, c’est-à-dire le nombre dont le logarithme est l’unité, de sorte que cette équation donne $x=\log y$ pour la base $a.$ Par la même raison, l’équation $a^{\frac {1}{\mathrm {A} }}=e$ donnera ${\frac {1}{\mathrm {A} }}=\log e$ pour la base $a$ et $\mathrm {A} =\log a$ pour la base $e$.

Dans le système des logarithmes ordinaires, la base a a été prise