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qui résulte de la fonction donnée, en mettant $y+\omega$ à la place de $y,$ soit toujours, entre les mêmes limites de $x,$ moindre dans le cas du maximum et plus grande dans le cas du minimum que la fonction primitive de $f(x,y,y',y'',\ldots ),$ quelle que soit la valeur de $\omega ,$ qu’on pourra regarder comme une fonction quelconque de $x,$ et quelque petite que cette valeur puisse être.

La fonction

$f(x,y+\omega ,y'+\omega ',y''+\omega '',\ldots ),$

étant développée suivant les puissances et les produits de $\omega ,\omega ',\omega '',\ldots ,$ d’une manière semblable à celle du n^o 78 (I^re Partie), deviendra

$f(x,y,y',y'',\ldots )+\omega f'(y)+\omega 'f'(y')+\omega ''f'(y'')+\ldots$

$+{\frac {1}{2}}\omega ^{2}f''(y)+\omega \omega 'f''(y,y')+{\frac {1}{2}}\omega ^{'2}f''(y')+\ldots ,$

où les quantités $f'(y),f'(y'),f'(y''),\ldots$ dénotent les fonctions primes de $f'(x,y,y',y'',\ldots )$ prises suivant $y,y',y'',\ldots ,$ et les quantités $f''(y),f''(y,y'),f''(y'),\ldots$ dénotent les fonctions secondes de la fonction $f(x,y+\lambda \omega ,y'+\lambda \omega ',y''+\lambda \omega '',\ldots )$ prises relativement à $y$ seul, à $y$ et $y',$ à $y'$ seul, et ainsi de suite ; le nombre est indéterminé ou plutôt inconnu, et peut être différent dans les différentes fonctions ; mais il doit être le même dans la même fonction, et il doit toujours être renfermé entre les limites $0$ et $1.$

Donc il faudra que la fonction primitive de la quantité

${\begin{aligned}\omega &f'(y)+\omega 'f'(y')+\omega ''f'(y'')+\ldots \\&+{\frac {\omega ^{2}}{2}}f''(y)+\omega \omega 'f''(y,y')+{\frac {\omega ^{'2}}{2}}f''(y')+\ldots \end{aligned}}$

ait toujours une valeur négative pour le maximum et une valeur positive pour le minimum, quelque valeur qu’on donne à la fonction et aussi petite que cette valeur puisse être, en prenant cette fonction primitive de manière qu’elle soit nulle lorsque $x=a$ et y faisant ensuite $x=b.$

Or, sans connaître la quantité $\omega ,$ on peut prouver qu’il est toujours possible de la prendre assez petite pour que la fonction primitive de la