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CHAPITRE XII.

Des questions de maximis et minimis qui se rapportent à la méthode des variations. De l’équation commune au maximum et au minimum, et des caractères propres à distinguer les maxima des minima.

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61. Si le maximum ou minimum, au lieu d’être une fonction donnée de $x,y,y',y'',\ldots ,$ devait être la fonction primitive de celle-ci, regardée comme une fonction prime, alors il ne serait plus permis de traiter les quantités $y,y',y'',\ldots$ comme indépendantes et isolées, parce que la fonction primitive d’une fonction de ces quantités dépend elle-même de la relation qu’elles peuvent avoir entre elles. Les problèmes de ce genre sont ceux qui se rapportent au calcul connu sous le nom de calcul des variations ; ils ne demandent pas une analyse nouvelle, mais une application spéciale de l’analyse des fonctions que nous croyons devoir exposer ici, à cause de l’importance de la matière.

Soit donnée la fonction $f(x,y,y',y'',\ldots ),$ dans laquelle $y$ est supposé une fonction de $x\,;$ il est évident qu’on ne peut, généralement parlant, avoir la fonction primitive de cette fonction donnée, sans connaître la valeur de $y$ en $x.$ Mais on peut chercher quelle devrait être cette valeur, pour que la fonction primitive de $f(x,y,y',y'',\ldots )$ fût un maximum ou un minimum, en supposant que cette fonction soit nulle lorsque $x$ aura une valeur donnée $a,$ et qu’elle devienne un maximum ou un minimum lorsque $x$ aura une autre valeur donnée $b.$ Il est évident que, en prenant $y$ pour la valeur cherchée, il faudra, par la nature du maximum ou minimum, que la fonction primitive de la fonction

$f(x,y+\omega ,y'+\omega ',y''+\omega '',\ldots ),$