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ne peut être que de la forme

$\alpha +\omega \beta +\omega '\gamma +\omega ''\delta +\ldots ,$

où la plus haute des fonctions dérivées $\omega ',\omega '',\ldots$ sera d’un ordre moindre que dans la fonction proposée ; c’est de quoi il est facile de se convaincre avec un peu de réflexion sur la forme des fonctions dérivées. Prenant donc la fonction prime de cette quantité, en regardant $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ comme des fonctions de $x$ $y$ étant supposé aussi fonction de $x,$ on aura

$\alpha '+\omega \beta '+\omega '(\beta +\gamma ')+\omega ''(\gamma +\delta ')+\ldots ,$

et, comparant avec la fonction proposée, on aura

$\alpha '=0,\quad \beta '=f'(y),\quad \beta +\gamma '=f'(y'),\quad \gamma +\delta '=f'(y''),\quad \ldots .$

La première équation donne $\alpha$ égal à une constante arbitraire ; les autres équations serviront à déterminer $\beta ,\gamma ,\delta ,\ldots ,$ et, comme il est facile de voir que le nombre de ces quantités est nécessairement moindre d’une unité que celui des équations, il en résultera une équation de condition qui devra être satisfaite pour que le maximum ou minimum ait lieu.

Pour cela, il n’y a qu’à mettre ces équations sous cette forme

$\beta '=f'(y),\quad \beta '+\gamma ''=\left[f'(y')\right]',\quad \gamma ''+\delta '''=\left[f'(y'')\right]'',\quad \ldots ,$

en prenant les fonctions primes de la seconde, les fonctions deuxièmes de la troisième, et ainsi de suite ; retranchant ensuite alternativement l’une de l’autre, on aura

$f'(y)-\left[f'(y')\right]'+\left[f'(y'')\right]''-\left[f'(y''')\right]'''+\ldots =0,$

où les traits appliqués aux parenthèses dénotent les fonctions primes, secondes, etc. des quantités renfermées entre ces parenthèses.

Cette équation sera donc commune au maximum et au minimum, et servira à déterminer la valeur de $y$ en fonction de $x\,;$ elle sera, comme il est aisé de le voir, d’un ordre double de celui de la fonction $f(x,y,y',y'',\ldots ).$