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63. Les mêmes équations

$\beta +\gamma '=f'(y'),\quad \gamma +\delta '=f'(y''),\quad \ldots ,$

donneront, par un procédé semblable,

${\begin{aligned}&\beta =f'(y'\ )-\left[f'(y''\ )\right]'+\left[f'(y''')\right]''-\ldots ,\\&\gamma =f'(y''\,)-\left[f'(y''')\right]'+\ldots ,\\&\delta =f'(y''')-\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Soit, pour abréger,

$\Omega =\omega \beta +\omega '\gamma +\omega ''\delta +\ldots \,;$

la fonction primitive de la quantité $\omega f'(y)+\omega 'f'(y')+\ldots$ sera $\alpha +\Omega ,$ et, comme cette fonction doit être nulle lorsque $x=a,$ si l’on dénote par $\mathrm {A}$ la valeur de $\Omega$ qui répondra à $x=a,$ on aura, puisque $\alpha$ est une constante arbitraire, $\alpha +\mathrm {A} =0,$ et par conséquent $\alpha =-\mathrm {A} .$ On aura donc $\Omega -\mathrm {A}$ pour la fonction primitive, qui doit être nulle, en vertu du maximum ou minimum, lorsque $x=b.$ Si donc on dénote encore par $\mathrm {B}$ la valeur de $\Omega$ qui répondra à $x=b,$ on aura l’équation

$\mathrm {B-A} =0,$

à laquelle il faudra satisfaire par le moyen des constantes arbitraires qui entreront dans l’expression de $y$ qu’on déduira de l’équation trouvée ci-dessus, en ayant égard d’ailleurs aux conditions spéciales du problème.

Ainsi, par exemple, si la valeur de $y$ est donnée pour les valeurs $a,b$ de $x,$ alors la valeur de $\omega$ sera nulle dans les deux quantités $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} \,;$ si, de plus, la valeur de $y'$ était aussi donnée pour les mêmes valeurs de $x,$ les valeurs de $\omega '$ seraient aussi nulles dans $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} \,;$ et ainsi de suite.

Les quantités $\omega ,\omega ',\omega '',\ldots$ étant réduites au plus petit nombre possible tant dans l’expression de $\mathrm {A}$ que dans celle de $\mathrm {B} ,$ on égalera à zéro le coefficient de chacune de celles qui resteront pour satisfaire à l’équation $\mathrm {B-A} =0,$ indépendamment de ces quantités.