Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/296

65. Pour simplifier la solution de cette question, nous supposerons d’abord que la quantité proposée ne renferme que les carrés et les produits des deux-quantités $\omega ,\omega '\,;$ on verra aisément que la même méthode s’étend aux cas plus compliqués, et nous représenterons par cette formule

$\omega ^{2}\mathrm {M} +\omega \omega '\mathrm {N} +\omega '^{2}\mathrm {P}$

la partie de la même quantité qui est toujours positive ou négative entre les limites $x=a,$ $x=b,;$ l’autre partie sera

$\omega ^{2}\left[{\frac {1}{2}}f''(y)-\mathrm {M} \right]+\omega \omega '\left[f''(y,y')-\mathrm {N} \right]+\omega '^{2}\left[{\frac {1}{2}}f''(y')-\mathrm {P} \right],$

dont il faudra chercher la fonction primitive, et il est facile de s’assurer d’avance que, pour que la quantité $\omega$ demeure indéterminée, cette fonction ne pourra être que de la forme $\mu +\omega ^{2}\nu \,;$ prenant donc sa fonction prime et comparant terme à terme avec la précédente, on aura

$\mu '=0,\quad \nu '={\frac {1}{2}}f''(y)-\mathrm {M} ,\quad 2\nu =f''(y,y')-\mathrm {N} ,\quad 0={\frac {1}{2}}f''(y')-\mathrm {P} .$

La première de ces équations donne $\mu$ égale à une constante arbitraire, et les trois autres serviront à déterminer les valeurs de$\mathrm {M,N,P} ,$ qui seront

$\mathrm {M} ={\frac {1}{2}}f''(y)-\nu ',\quad \mathrm {N} =f''(y,y')-2\nu ,\quad \mathrm {P} ={\frac {1}{2}}f''(y'),$

et il faudra que ces valeurs satisfassent aux conditions qui résultent des formules du n^o 56. Or, en prenant les quantités $\omega '$ et $\omega$ à la place des quantités $p$ et $q,$ et par conséquent $\mathrm {P,N,M}$ à la place de $\mathrm {A,B,C} ,$ et faisant $\mathrm {T=M-{\frac {N^{2}}{4P}}} ,$ on aura pour le minimum les deux conditions $\mathrm {P} >0$ et $\mathrm {T} >0,$ et pour le maximum les conditions opposées $\mathrm {P} <0$ et $\mathrm {T} <0,$ ou bien l’une des deux quantités $\mathrm {P,T}$ égale à zéro, tant pour le minimum que pour le maximum, et ces conditions devront avoir lieu pour toutes les valeurs de $x,$ depuis $x=a$ jusqu’à $x=b,$ pour que la quantité $\omega '^{2}\mathrm {P} +\omega \omega '\mathrm {N} +\omega ^{2}\mathrm {M}$ soit constamment positive dans le premier cas et négative dans le second entre ces mêmes limites. Comme la quantité $\mathrm {P}$ est donnée, elle indiquera tout de suite le maxi-