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64. Ayant ainsi satisfait à la première condition, il ne restera plus qu’à remplir l’autre condition, qui consiste en ce que la fonction primitive de la quantité

${\frac {1}{2}}\omega ^{2}f''(y)+\omega \omega 'f''(y,y')+{\frac {1}{2}}\omega ^{'2}f''(y')+\ldots$

doit être, entre les mêmes limites $a$ et $b$ de $x,$ toujours positive pour le minimum et négative pour le maximum, en supposant que la valeur de $\omega$ soit quelconque et aussi petite qu’on voudra.

Je remarquerai d’abord ici que, quoique les fonctions $f''(y),f''(y,y'),\ldots$ renferment essentiellement les quantités $\omega ,\omega ',\ldots$ (n^o 61), on peut prouver, par un raisonnement semblable à celui du n^o 55, qu’il suffira, pour le maximum ou minimum, que la condition dont il s’agit soit remplie en supposant le coefficient $\lambda$ égal à zéro, ce qui fait disparaître ces quantités des fonctions dont il s’agit, en sorte que ces fonctions ne seront plus alors que les fonctions secondes de la fonction $f'(x,y,y',y'',\ldots ),$ prises relativement à $y$ seul, à $y$ et $y',$ à $y'$ seul, etc., et auront, par conséquent, des valeurs déterminées en $x,y,y',\ldots .$

Cela posé, si l’on rappelle ici le théorème que nous avons démontré dans la première Partie (n^o 38), on en conclura que la condition dont il s’agit serait satisfaite si la proposée

${\frac {1}{2}}\omega ^{2}f''(y)+\omega \omega 'f''(y,y')+\ldots$

était telle qu’elle fût constamment positive ou négative pour toutes les valeurs de $x,$ depuis $x=a$ jusqu’à $x=b,$ indépendamment des quantités $\omega ,\omega ',\omega '',\ldots ,$ et, comme nous avons donné plus haut (n^o 56) les conditions les plus générales pour qu’une quantité de la forme dont il s’agit soit nécessairement positive ou négative, il n’y aura qu’à examiner si ces conditions ont lieu dans la quantité dont il s’agit. Si elles n’avaient pas lieu ou si elles n’avaient lieu que dans une partie de cette quantité, il faudrait alors chercher la fonction primitive de l’autre partie et la rendre nulle, ou au moins positive pour le minimum et négative pour le maximum, indépendamment des quantités $\omega ,\omega ',\omega '',\ldots .$