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et il n’est pas aisé de trouver une valeur satisfaisante de $\nu ,$ ni même de s’assurer qu’on pourra la trouver.

Soit : 2^o $\mathrm {M-{\frac {N^{2}}{4P}}} =0\,;$ on aura

$-\nu '=k^{2}+(m-\nu )^{2}.$

Je suppose

$m-\nu =kp\,;$

j’aurai

${\frac {\rho '}{k}}=1+\rho ^{2},$

ce qui donne

${\frac {\rho '}{1+\rho ^{2}}}=k,$

et, prenant les fonctions primitives des deux membres,

$\operatorname {angle} \ \operatorname {tang} \rho =kx+d,$

savoir

$\rho =\operatorname {tang} (kx+d),$

$d$ étant une constante arbitraire. Cette valeur devient infinie lorsque $kx+d=$ à l’angle droit, ou à trois angles droits, ou etc. Donc on ne sera pas assuré de l’existence du minimum si la quantité $(b-a)k$ est plus grande que la valeur de deux angles droits.

En effet, pour que le minimum ait lieu en général, il faut (n^o 64) que la fonction primitive de la quantité

$n\omega ^{2}+2m\omega \omega '+\omega '^{2}$

soit positive, quelle que puisse être la valeur de $\omega .$ Supposons $\omega =i\sin x\,;$ cette quantité deviendra

$i^{2}\left(n\sin ^{2}x+2m\sin x\cos x+\cos ^{2}x\right)=$

$i^{2}\left({\frac {1+n}{2}}+{\frac {1-n}{2}}\cos 2x+m\sin 2x\right).$

dont la fonction primitive est

$i^{2}\left({\frac {1+n}{2}}x+{\frac {1-n}{4}}\sin 2x-{\frac {m}{2}}\cos 2x\right)+c,$

$c$ étant la constante arbitraire qu’on déterminera de manière que la