Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/304

70. Si les valeurs de $y,y',\ldots$ n’étaient pas données pour les valeurs $a$ et $b$ de $x,$ mais qu’il y eût seulement, par la nature du problème, une relation entre ces quantités, représentée par l’équation

$\varphi (x,y,y',\ldots )=0,$

alors, suivant les principes du n^o 58, il n’y aurait qu’à ajouter à la fonction, qui doit être positive pour le minimum et négative pour le maximum, la quantité

$\omega \varphi '(y)+\omega '\varphi '(y')+\omega ''\varphi '(y'')+\ldots$

$+{\frac {1}{2}}\omega ^{2}\varphi ''(y)+\omega \omega '\varphi ''(y,y')+{\frac {1}{2}}\omega '^{2}\varphi ''(y')+\ldots ,$

multipliée par un coefficient indéterminé $\Gamma ,$ et traiter ensuite les quantités $\omega ,\omega '$ comme indépendantes. Ainsi, si la condition dont il s’agit doit avoir lieu pour la valeur de $x=a,$ on ajoutera aux deux quantités $\mathrm {A}$ et $(\mathrm {A} )$ (n^os 63, 67) les quantités

$\Gamma \left[\omega \varphi '(y)+\omega '\varphi '(y')+\ldots \right]$

et

$\Gamma \left[{\frac {1}{2}}\omega ^{2}\varphi ''(y)+\omega \omega '\varphi ''(y,y')+\ldots \right],$

rapportées à la même valeur de $x\,;$ et, si cette condition devait avoir lieu pour la valeur $x=b,$ on ajouterait aux valeurs de $\mathrm {B}$ et de $(\mathrm {B} )$ les mêmes quantités rapportées à $x=b.$

On suivrait le même procédé pour chacune des conditions données, s’il y en avait plusieurs.