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lesquelles donnent $\mu$ égale à une constante arbitraire, ensuite

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {M} =&{\frac {1}{2}}f''(y)&-&\nu ',\\\mathrm {N} =&f''(y,y')&-&2\nu -\varpi ',\\\mathrm {P} =&{\frac {1}{2}}f''(y')&-&\varpi \ -\rho ',\\\mathrm {Q} =&f''(y,y'')&-&\varpi ,\\\mathrm {R} =&f''(y',y'')&-&2\rho ,\\\mathrm {S} =&{\frac {1}{2}}f''(y''),\end{alignedat}}$

où les trois quantités $\nu ,\varpi ,\rho$ demeurent indéterminées ; mais il faudra les prendre telles qu’elles satisfassent aux conditions auxquelles doivent être assujetties les quantités $\mathrm {M,N,P} ,\ldots$ et qu’on peut déduire du n^o 56, en prenant les quantités $\omega '',\omega ',\omega$ à la place des quantités $p,q,r.$ Ainsi, si l’on fait

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {T} =&\mathrm {P-{\frac {R^{2}}{4S}}} ,\qquad &\mathrm {V} =&\mathrm {N-{\frac {QR}{2S}}} ,\\\mathrm {X} =&\mathrm {M-{\frac {Q^{2}}{4S}}} ,&\mathrm {Y} =&\mathrm {X-{\frac {V^{2}}{2T}}} ,\end{alignedat}}$

les conditions pour le minimum seront $\mathrm {S} >0,\mathrm {T} >0$ et $\mathrm {Y} >0,$ et, pour le maximum, $\mathrm {S} <0,\mathrm {T} <0,\mathrm {Y} <0\,;$ et ces conditions devront avoir lieu pour toutes les valeurs de $x,$ depuis $x=a$ jusqu’à $x=b.$ La valeur de $\mathrm {S}$ indiquera le maximum ou minimum ; mais on n’en pourra être assuré que par le concours des deux autres conditions. De plus, il faudra que les quantités $\mathrm {M,N,P} ,$ $\mathrm {Q,R,S}$ ne deviennent jamais infinies entre les mêmes limites, par les raisons exposées plus haut (n^o 66).

Enfin il faudra que, en supposant

$(\Omega )=\omega ^{2}\nu +\omega \omega '\varpi +\omega '^{2}\rho ,$

et prenant $(\mathrm {A} )$ et $(\mathrm {B} )$ pour les valeurs de $(\Omega )$ qui répondent à $x=a$ et $x=b,$ la quantité $\mathrm {(B)-(A)}$ soit positive pour le minimum et négative pour le maximum, indépendamment des valeurs de $\omega$ et de $\omega '$ (n^o 67).

On suivra les mêmes procédés pour les fonctions plus compliquées.