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tante. Nous avons trouvé (n^o 62) que, pour que la quantité

$\omega f'(y)+\omega 'f'(y')+\omega ''f''(y'')+\ldots$

ait une fonction primitive, quelle que soit la valeur de $\omega ,$ il faut satisfaire à l’équation

$f'(y)-\left[f'(y')\right]'+\left[f'(y'')\right]''-\ldots =0.$

Donc, si cette quantité était d’elle-même la fonction prime d’une fonction de $x,y,y',\ldots ,\omega ,\omega ',\ldots ,$ l’équation précédente aurait aussi lieu d’elle-même et serait par conséquent identique.

Or on voit, par le n^o 61, que la quantité dont il s’agit n’est autre chose que la partie du développement de la fonction

$f(x,y+\omega ,y'+\omega ',y''+\omega '',\ldots )$

qui ne contient que les premières dimensions de $\omega ,\omega ',\omega '',\ldots ,$ et je vais prouver que cette quantité sera nécessairement une fonction prime si $f(x,y,y',y'',\ldots )$ est elle-même une fonction prime d’une fonction de $x,y,y',\ldots .$

En effet, si cette fonction est une fonction prime, quelle que soit la valeur de $y$ en $x,$ elle le sera encore en mettant $y+\omega$ au lieu de $y,$ quelle que soit la quantité $\omega \,:$ donc la fonction

$f(x,y+\omega ,y'+\omega ',\ldots )$

sera aussi nécessairement une fonction prime, en prenant pour $\omega$ une fonction quelconque de $x.$ Supposons que cette fonction soit développée suivant les puissances et les produits de $\omega ,\omega ',\omega '',\ldots ,$ et dénotons respectivement par $\mathrm {P,Q,R} ,\ldots$ les parties de ce développement qui contiendront les premières dimensions, les deuxièmes dimensions, les troisièmes, etc. des mêmes quantités ; on aura

$f(x,y+\omega ,y'+\omega ',y''+\omega '',\ldots )=f(x,y,y',y'',\ldots )+\mathrm {P+Q+R} +\ldots .$

Ainsi, il faudra que la quantité $\mathrm {P+Q+R} +\ldots$ soit la fonction prime d’une fonction de $x,y,y',\ldots$ et de $\omega ,\omega ',\omega '',\ldots ,$ et il est facile de