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$f'(z')$ relativement à $y'$ et $z',$

${\begin{aligned}f''(y')=&{\frac {1+z'^{2}}{{\sqrt {h+x}}\left(1+y'^{2}+z'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},\\f''(y',z')=&{\frac {y'z'}{{\sqrt {h+x}}\left(1+y'^{2}+z'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},\\f''(z')=&{\frac {1+y'^{2}}{{\sqrt {h+x}}\left(1+y'^{2}+z'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},\end{aligned}}$

de sorte que la quantité dont il s’agit deviendra

${\frac {\omega '^{2}\left(1+z'^{2}\right)-2\omega '\zeta 'y'z'+\zeta '^{2}\left(1+y'^{2}\right)}{2{\sqrt {h+x}}\left(1+y'^{2}+z'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},$

laquelle peut se mettre sous cette forme,

${\frac {\omega '^{2}+\zeta '^{2}+(\omega 'z'-\zeta 'y')^{2}}{2{\sqrt {h+x}}\left(1+y'^{2}+z'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},$

où l’on voit que cette quantité a d’elle-même la propriété d’être toujours nécessairement positive, quelles que soient les valeurs de $\omega$ et $\zeta \,;$ et, comme d’ailleurs elle ne saurait jamais devenir infinie tant que $y'$ et $z'$ ne seront pas infinies, il s’ensuit que le minimum aura nécessairement lieu dans la cycloïde.

Nous n’entrerons pas dans d’autres détails sur ce problème, qui offre différentes cas à examiner, suivant les conditions qu’on peut demander relativement au premier et au dernier point de la courbe, et par rapport à la courbe même, qu’on peut supposer devoir être tracée sur une surface donnée. La solution de tous ces cas peut se tirer aisément des principes établis ci-dessus. Voir la fin de la Leçon XXII du Calcul des fonctions^[1].

74. L’analyse que nous avons employée pour trouver les maxima et minima des fonctions primitives donne lieu à une observation impor-

1. Œuvres de Lagrange, t. X.