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férent dans les différentes fonctions, mais il doit être renfermé entre les limites $o$ et $1.$

Or la différence de l’une à l’autre de celles-ci est, comme on voit, de l’ordre de $i^{2}o$ ou de $io^{2},$ c’est-à-dire du troisième ordre, en regardant $i$ et $o$ comme très-petites du premier. Mais la différence entre la première quantité et l’une quelconque des quatre dernières est

$io\left[\operatorname {F} '_{_{'}}(x,y)-f(x,y)\right],$

avec des termes du troisième ordre ; donc, pour que cette différence soit toujours plus petite que la différence précédente, qui n’est que du troisième ordre, il est nécessaire que le premier terme, qui est du second ordre, soit nul ; autrement, il serait possible de prendre les accroissements $i$ et $o$ assez petits pour que ce premier terme surpassât tous les termes du troisième ordre et que par conséquent la première quantité tombât hors des limites formées par les quatre autres quantités. Il faudra donc que l’on ait

$io\left[\operatorname {F} '_{_{'}}(x,y)-f(x,y)\right]=0,$

et, par conséquent,

$\operatorname {F} '_{_{'}}(x,y)=f(x,y),$

comme nous l’avons trouvé plus haut.

79. Supposons maintenant que la fonction $\operatorname {F} (x,y)$ représente la mesure de la surface. Dans ce cas, il est clair que la quantité

$\operatorname {F} (x+i,y+o)-\operatorname {F} (x+i,y)-\operatorname {F} (x,y+o)+\operatorname {F} (x,y)$

représentera la portion de surface comprise entre les quatre faces du prisme droit qui a $io$ pour base.

Imaginons qu’aux extrémités des quatre ordonnées qui forment les arêtes de ce pri\sine on mène quatre plans tangents à la surface dans ces points ; on pourra prouver, par un raisonnement analogue à celui du n^o 29 relatif aux tangentes, que la portion de surface qui forme la base supérieure du pri\sine sera comprise entre la plus grande et la