80. On voit par là que l’ordonnée d’une surface est la double fonction prime prise par rapport à et de la fonction qui exprime le volume ou la solidité du corps, et que la quantité est la double fonction prime de la fonction qui exprime la surface elle-même.
Ainsi, l’ordonnée étant donnée en fonction de et il faudra prendre sa double fonction primitive pour avoir la solidité et la double fonction primitive de pour avoir la surface. On est libre de commencer par la fonction primitive relative à ou à mais la première fonction primitive admettra pour constante une fonction de l’autre variable qu’on aura regardée comme constante, et il faudra déterminer cette fonction conformémentaux limites données de la surface. On déterminera ensuite, d’après ces limites, la première variable en fonction de la seconde, par rapport à laquelle on prendra de nouveau la fonction primitive.
81. Si, pour faciliter la recherche des doubles fonctions primitives ou pour d’autres vues, on voulait changer les variables en d’autres variables et dont celles-là seraient des fonctions données, il faudrait, par les principes établis dans la première Partie (no 50), multiplier d’abord les fonctions regardées comme dérivées doubles par mais ensuite on ne pourrait pas substituer immédiatement les valeurs de en et parce qu’en prenant la fonction primitive par rapport à l’une des variables l’autre doit être regardée comme constante.
Soit la fonction dont il s’agit d’avoir la double fonction primitive pour changer les variables en d’autres variables et on la mettra d’abord sous la forme Supposons qu’à la place de la variable par rapport à laquelle on veut prendre d’abord la fonction primitive en regardant comme constante, on substitue une fonction donnée de et de étant une nouvelle variable qui remplacera
Soit on aura, en ne faisant varier que
