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et la fonction proposée deviendra

$y'\varphi '(t)f(x,y),$

dont il faudra prendre la fonction primitive par rapport à $t,$ $y$ étant regardée comme constante, et ensuite par rapport à $y,$ $t$ étant regardée comme constante. Or on peut aussi substituer à la place de $y$ une autre variable $u$ et supposer, puisque $t$ est à son égard constante,

$y=\psi (t,u),$

ce qui donnera, en ne faisant varier que $u,$

$y'=\psi '(u).$

Ainsi la fonction proposée deviendra

$\varphi '(t)\psi '(u)f(x,y),$

laquelle ne renferme plus que $t$ et $u,$ à cause de

$x=\varphi (t,y)\quad y=\psi (t,u),$

et dont on pourra prendre la double fonction primitive par rapport à $t$ et à $u.$

Puisque $x=\varphi (t,y)$ et $y=\psi (t,u),$ on aura, après la substitution de $y,$ $x$ égale à une simple fonction de $t$ et $u,$ que nous dénoterons par $\chi (t,u),$ de manière que les transformations de $x$ et $y$ en $t$ et $u$ seront représentées par

$x=\chi (t,u),\quad y=\psi (t,u).$

Or l’équation identique

$\varphi (t,y)=\chi (t,u)$

donne, en faisant varier séparément $t$ et $u,$

${\begin{aligned}\varphi '(t,y)+\varphi '(y)\psi '(t)=&\chi '(t),\\\varphi '(y)\psi '(u)=&\chi '(u)\,:\end{aligned}}$

éliminant $\varphi '(y),$ on aura

$\varphi '(t,y)=\chi '(t)-{\frac {\psi '(t)\chi '(u)}{\psi '(u)}},$