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d’où l’on tire

$(z')={\frac {z'y_{_{'}}-z_{_{'}}y'}{x'y_{_{'}}-x_{_{'}}y'}},\quad (z_{_{'}})=-{\frac {z'x_{_{'}}-z_{_{'}}x'}{x'y_{_{'}}-x_{_{'}}y'}}\,;$

ce sont les valeurs qu’il faudra substituer dans le radical

${\sqrt {1+(z')^{2}+(z_{_{'}})^{2}}},$

et, la substitution faite, on aura la formule

${\sqrt {\left(x'y_{_{'}}-x_{_{'}}y'\right)^{2}+\left(z'x_{_{'}}-z_{_{'}}x'\right)^{2}+\left(z'y_{_{'}}-z_{_{'}}y'\right)^{2}}},$

dont la double fonction primitive, prise par rapport à $t$ et à $u,$ donnera la surface du corps, les variables $z,x,y$ étant maintenant regardées comme de simples fonctions de $t$ et $u.$

83. Ces expressions pour le volume et pour la surface d’un corps quelconque, dont les coordonnées $x,y,z$ sont supposées fonctions de $t$ et $u,$ étant traduites en langage différentiel, deviennent

$dtdu\left({\frac {dx}{dt}}{\frac {dy}{du}}-{\frac {dx}{du}}{\frac {dy}{dt}}\right)z$

et

$dtdu{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}{\frac {dy}{du}}-{\frac {dx}{du}}{\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}{\frac {dx}{du}}-{\frac {dz}{du}}{\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}{\frac {dy}{du}}-{\frac {dz}{du}}{\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}},$

et représentent les éléments infiniment petits du volume et de la surface, qu’il faut intégrer et compléter d’abord par rapport à l’une des deux variables $t,u,$ et ensuite par rapport à l’autre.

84. Pour donner une application de ces formules, nous supposerons que le corps, dont on cherche la solidité et la surface, soit un ellipsoïde quelconque dont les trois demi-axes soient $a,b,c\,;$ l’équation de sa surface entre les trois coordonnées rectangles $x,y,z,$ parallèles aux demi-axes $a,b,c,$ sera représentée ainsi,

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1,$

d’où l’on aura $z$ en fonction de $x$ et $y.$