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et cette valeur, étant substituée dans la dernière transformée de la fonction proposée, donnera

$\left[\chi '(t)\psi '(u)-\chi '(u)\psi '(t)\right]f(x,y),$

qu’on peut mettre sous cette forme plus simple,

$(x'y_{_{'}}-x_{_{'}}y')f(x,y),$

dans laquelle $x$ et $y$ peuvent être des fonctions quelconques de $t$ et $u,$ et où les traits supérieurs indiquent les fonctions dérivées par rapport à $t$ et les inférieurs indiquent les dérivées par rapport à $u.$

82. Ainsi, en regardant $z$ comme une fonction de $x$ et $y$ donnée par la nature de la surface du corps, et supposant qu’on substitue à la place de $x,y$ des fonctions quelconques de $t$ et $u,$ la solidité ou le volume du corps et sa surface seront représentés par les doubles fonctions primitives relatives à $t$ et $u$ des formules

$(x'y_{_{'}}-x_{_{'}}y')z\quad {\text{et}}\quad (x'y_{_{'}}-x_{_{'}}y'){\sqrt {1+(z')^{2}+(z_{_{'}})^{2}}},$

où il faut remarquer que les fonctions dérivées de $z$ doivent être prises par rapport à $x$ et $y\,;$ mais, si l’on substitue tout de suite dans $z,$ pour $x$ et $y,$ leurs valeurs en $t$ et $u,$ il est clair que $z$ deviendra une simple fonction de $t$ et $u,$ et voici comment on pourra exprimer les dérivées de $z$ par rapport à $x$ et $y$ par ses dérivées par rapport à $t$ et $u.$

Pour distinguer ces dérivées les unes des autres, nous renfermerons les premières entre des parenthèses. Ainsi $(z')$ et $(z_{_{'}})$ désigneront les dérivées de $z$ prises par rapport à $x$ et $y,$ et $z',$ $z_{_{'}}$ désigneront simplement les dérivées de $z$ prises par rapport à $t$ et $u,$ après la substitution des valeurs de $x,y,$ en $t$ et $u$ dans l’expression de $z.$ En regardant donc $z$ comme fonction de $x,y,$ et $x,y$ comme fonctions de $t,u,$ et prenant les dérivées séparément par rapport à $t$ et à $u,$ on aura, par les principes établis dans la première Partie,

${\begin{aligned}z'=&(z')x'+(z_{_{'}})y',\\z_{_{'}}=&(z')x_{_{'}}+(z_{_{'}})y_{_{'}},\end{aligned}}$