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${\frac {3}{4}}\sin t-{\frac {1}{4}}\sin 3t$ au lieu de $\sin ^{3}t\,;$ elle devient

${\frac {abc}{4}}(\sin t+\sin 3t),$

dont la fonction primitive, prise de manière qu’elle commence où $t=0,$ est

${\frac {abc}{4}}\left(1-\cos t+{\frac {1-\cos 3t}{3}}\right).$

Faisant $t=\pi ,$ ce qui donne $\cos t=-1$ et $\cos \psi 3t=-1,$ elle se réduit abc à ${\frac {2abc}{3}}.$

Il faut prendre encore la fonction primitive de celle-ci par rapport à $u$ depuis $u=0$ jusqu’à $u=2\pi \,;$ et comme la variable $u,$ dont la fonction prime est $1,$ ne s’y trouve pas, il n’y aura qu’à multiplier simplement par $2\pi ,$ ce qui donnera

${\frac {4abc}{3}}\pi$

pour la solidité ou le volume du sphéroïde entier dont $a,b,c$ sont les trois demi-axes.

86. Venons à la formule relative à la surface et supposons d’abord, pour la simplifier, $a=b,$ ce qui donne un sphéroïde de révolution autour de l’axe $2c\,;$ elle deviendra

$a\sin t{\sqrt {b^{2}\cos ^{2}t+c^{2}\sin ^{2}t}},$

où l’on voit que l’angle $u$ a disparu ; je conserve la lettre $b$ sous le signe, pour plus de généralité.

Faisons $\cos t=s,$ on aura $\sin t=-s'\,;$ d’ailleurson a $\sin ^{2}t=1-s^{2}\,;$ on aura ainsi la transformée

$-as'{\sqrt {c^{2}+\left(b^{2}-c^{2}\right)s^{2}}},$

dont il faudra prendre la fonction primitive depuis $s=1$ jusqu’à $s=-1.$