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Soit $b^{2}-c^{2}=e^{2}\,;$ on aura la fonction primitive par rapport à $s,$

$-{\frac {as}{2}}{\sqrt {c^{2}+e^{2}s^{2}}}+{\frac {ac^{2}}{2e}}\operatorname {l} \left({\sqrt {c^{2}+e^{2}s^{2}}}-es\right)\,;$

et, faisant $s=1,$ elle deviense réduit à

$-{\frac {ab}{2}}+{\frac {ac^{2}}{2e}}\operatorname {l} (b-e)\,;$

et, faisant $s=-1,$ elle devient

${\frac {ab}{2}}+{\frac {ac^{2}}{2e}}\operatorname {l} (b+e).$

Donc la fonction primitive complète, relativement à $s$ ou à $t,$ sera

$ab+{\frac {ac^{2}}{2e}}\operatorname {l} {\frac {b+e}{b-e}}.$

Il faut de nouveau en prendre la fonction primitive relative à $u\,;$ et comme la variable $u$ ne s’y trouve pas, on se contentera de la multiplier par $2\pi \,;$ et, faisant maintenant $b=a,$ on aura, pour la surface entière du sphéroïde formé par la révolution d’une ellipse dont les demi-axes sont $a$ et $c$ autour du petit axe $2c,$ la formule

$2\pi a^{2}+{\frac {\pi ac^{2}}{e}}\operatorname {l} {\frac {a+e}{a-e}},$

où $e$ est l’excentricité $={\sqrt {a^{2}-c^{2}}}.$

Pour que la valeur de $e$ soit réelle, il faut que $a>c,$ et, par conséquent, que le sphéroïde soit aplati et formé par la révolution de l’ellipse autour de son petit axe $2c.$

Si l’on voulait avoir la surface d’un sphéroïde allongé formé par la révolution d’une ellipse autour de son grand axe, il faudrait prendre $2c$ pour son grand axe : alors la valeur de $e$ deviendrait imaginaire. Soit pour ce cas, $c^{2}-a^{2}=\mathrm {E} ^{2}\,;$ on aura

$e=\mathrm {E} {\sqrt {-1}},$

et, passant des logarithmes imaginaires aux arcs réels par les formules