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une vitesse mesurée par $f'(t)$ (n^o 2) et que le second sera uniformément accéléré et dû à une force accélératrice proportionnelle à ${\frac {1}{2}}f''(t)$ (n^o 3). À l’égard des autres, comme ils ne se rapportent à aucun mouvement simple connu, il ne sera pas nécessaire de les considérer en particulier, et nous allons faire voir qu’on peut en faire abstraction dans la détermination du mouvement au commencement du temps $\theta .$

En effet, si l’on développe la fonction $f(t+\theta )$ par notre formule générale de la première Partie (n^os 40, 78), on aura

$f(t)+\theta f'(t)+{\frac {\theta ^{2}}{2}}f''(t)+{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}f'''(t+\lambda \theta ),$

$\lambda$ étant un coefficient inconnu, dont la valeur est nécessairement comprise entre $0$ et $1,$ de sorte que l’espace parcouru dans le temps $\theta$ sera exprimé exactement par la formule

$\theta f'(t)+{\frac {\theta ^{2}}{2}}f''(t)+{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}f'''(t+\lambda \theta ).$

Les deux premiers termes représentent, comme l’on voit, le mouvement composé d’uniforme et d’uniformément accéléré ; le troisième représente la totalité des autres mouvements qui se combinent avec celui-là et qui empêchent le vrai mouvement d’être un simple résultat de ces deux. Mais j’observe qu’on peut prendre $\theta$ assez petit pour que le mouvement composé des deux termes $\theta f'(t)+{\frac {\theta ^{2}}{2}}f''(t)$ approche plus du véritable mouvement que ne pourrait faire tout autre mouvement composé d’un mouvement uniforme et d’un mouvement uniformément accéléré ; car la différence des espaces parcourus, pendant le temps $\theta ,$ par le mouvement composé dont il s’agit et par le véritable mouvement sera exprimée par ${\frac {\theta ^{3}}{2.3}}f'''(t+\lambda \theta )\,;$ mais l’espace parcouru par tout autre mouvement composé d’un uniforme et d’un uniformément accéléré étant représenté par $a\theta +b\theta ^{2}$ (n^o 3), la différence entre cet espace et le véritable espace parcouru sera

$\theta \left[f'(t)-a\right]+\theta ^{2}\left[{\frac {1}{2}}f''(t)-b\right]+{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}f'''(t+\lambda \theta ),$