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En regardant les quantités $x,y,z$ comme fonctions de $t,$ lorsque $t$ devient $t+\theta ,$ ces quantités deviennent

${\begin{aligned}x+\theta x'+&{\frac {\theta ^{2}}{2}}x''+{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}x'''+\ldots ,\\y+\theta y'+&{\frac {\theta ^{2}}{2}}y''\,+{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}y'''+\ldots ,\\z+\theta z'+&{\frac {\theta ^{2}}{2}}z''\ +{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}z'''+\ldots ,\end{aligned}}$

par les principes établis dans la première Partie sur le développement des fonctions.

En regardant, d’un autre côté, $y$ et $z$ comme fonctions de $x,$ lorsque $x$ devient $x+i,$ ces mêmes quantités deviennent

${\begin{aligned}y+i(y')+&{\frac {i^{2}}{2}}(y'')+{\frac {i^{3}}{2.3}}(y''')+\ldots ,\\z+i(z')+&{\frac {i^{2}}{2}}(z'')+{\frac {i^{3}}{2.3}}(z''')+\ldots .\end{aligned}}$

Je renferme ici les quantités $y',y'',\ldots ,z',z'',\ldots$ entre des parenthèses, pour les distinguer des mêmes quantités relatives à la première hypothèse.

Donc, si l’on fait

$i=\theta x'+{\frac {\theta ^{2}}{2}}x''+{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}x'''+\ldots ,$

il faudra que l’on ait, quel que soit $\theta ,$ l’équation

$i(y')+{\frac {i^{2}}{2}}(y'')+{\frac {i^{3}}{2.3}}(y''')+\ldots =\theta y'+{\frac {\theta ^{2}}{2}}y''+{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}y'''+\ldots ,$

et de même

$i(z')+{\frac {i^{2}}{2}}(z'')+{\frac {i^{3}}{2.3}}(z''')+\ldots =\theta z'+{\frac {\theta ^{2}}{2}}z''+{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}z'''+\ldots .$

Substituant la valeur de $i$ et comparant les termes affectés de la même