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par l’élimination immédiate du temps $t.$ En effet, $x$ et $y$ étant fonctions de $t,$ on peut réciproquement regarder $y$ et $t$ comme fonctions de $x,$ et, par la règle donnée dans le n^o 50 de la première Partie, si l’on regarde, en général, $x,y,t$ comme fonctions d’une autre variable quelconque $z,$ il faudra substituer ${\frac {x'}{t'}}$ et ${\frac {y'}{t'}}$ à la place de $x',y',$ et ${\frac {\left({\cfrac {x'}{t'}}\right)'}{t'}},{\frac {\left({\cfrac {y'}{t'}}\right)'}{t'}}$ à la place de $x'',y''\,;$ mais, en prenant $x$ pour variable principale à la place de $t,$ on fera $x'=1,$ et l’on aura à substituer ${\frac {1}{t'}}$ et ${\frac {y'}{t'}}$ à la place de $x'$ et $y',$ et $-{\frac {t''}{t'^{3}}}$ et ${\frac {y''}{t'^{2}}}-{\frac {y't''}{t'^{3}}}$ à la place de $x''$ et $y''.$

Les deux équations deviendront donc, à cause de $s'={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}},$

$-{\frac {t''}{t'^{3}}}=-{\frac {r}{\sqrt {1+y'^{2}}}},\quad {\frac {y''}{t'^{2}}}-{\frac {y't''}{t'^{3}}}=-g-{\frac {ry'}{\sqrt {1+y'^{2}}}},$

d’où il faudra éliminer la fonction $t'.$ Substituant, dans la seconde équation, la valeur de ${\frac {t''}{t'^{3}}}$ tirée de la première, elle deviendra

${\frac {y''}{t'^{2}}}=-g\,;$

divisant par $y'',$ et prenant de part et d’autre les fonctions primes, on aura

$-{\frac {2t''}{t'^{3}}}={\frac {gy'''}{y''^{2}}},$

valeur qui, étant substituée dans la première équation, donnera, comme plus haut,

${\frac {r}{g}}=-{\frac {y'''{\sqrt {1+y'^{2}}}}{2y''^{2}}}.$

À l’égard de la vitesse $u=s'={\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}},$ elle deviendra ${\frac {\sqrt {1+y'^{2}}}{t'}},$ et, comme on vient de trouver $t'={\sqrt {\frac {-y''}{g}}},$ la vitesse deviendra ${\frac {{\sqrt {g}}{\sqrt {1+(y')^{2}}}}{\sqrt {-(y'')}}},$ comme ci-dessus.

Si la force de la gravité $g$ était variable, alors la valeur de ${\frac {r}{g}}$ que