Il est remarquable que, si l’on substitue simplement ou pour on a un résultat exact : c’est ce qui a fait croire aux Bernoulli, qui ont découvert les premiers l’erreur de Newton, et à tous ceux qui en ont parlé depuis, que cette erreur venait de ce que Newton avait pris les termes de la série pour les différences premières, secondes et troisièmes de l’ordonnée, tandis que ces termes ne sont égaux qu’à ces différences divisées par Mais il est facile de voir que la solution de Newton est indépendante de la considération de ces différences et que la substitution des termes de la série dont il s’agit à la place des quantités et dans la formule est légitime ; ainsi l’erreur doit être dans cette formule même, qui donne le rapport de la résistance à la gravité, et ce qui doit le prouver sans réplique, c’est que, si la gravité était variable, la même formule aurait encore lieu, puisque dans les deux mouvements direct et rétrograde le corps est censé descendre verticalement de la même ligne Ainsi, dans ce cas, on devrait aussi avoir une solution exacte par la substitution de à la place de ce qui n’est pas, comme on le voit par la valeur de que nous avons trouvée pour ce cas dans le numéro précédent.
20. Pour découvrir la source de l’erreur, nous allons réduire la solution de Newton en analyse. En nommant la vitesse dans un point de la courbe, est l’espace que le mobile parcourrait dans la tangente pendant le temps sans la gravité et la résistance. Nommant la force absolue de la gravité et celle de la résistance, et seront les espaces parcourus en vertu de ces forces, regardées comme constantes pendant le temps supposé très-petit. Ainsi le corps aura parcouru, suivant la tangente, l’espace et, suivant l’ordonnée verticale l’espace lequel représente la flèche qui répond à la tangente Supposons maintenant, comme Newton, que le mobile
