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Maintenant, en prenant les abscisses $x$ horizontales et les ordonnées $y$ verticales et dirigées de bas en haut, Newton suppose que, pour l’abscisse $x+o,$ l’ordonnée exprimée en série est

$y+\mathrm {Q} o-\mathrm {R} o^{2}-\mathrm {S} o^{3}+\ldots ,$

et il remarque que la partie de la tangente qui répond à la partie $o$ de l’axe est $o{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}},$ et que la flèche, c’est-à-dire la partie de l’ordonnées comprise entre la courbe et la tangente, est $\mathrm {R} o^{2}+\mathrm {S} o^{3}+\ldots .$ En faisant $o$ négatif, on aura la flèche qui répond à la même partie de la tangente, prise de l’autre côté du point de contact, et qui sera, par conséquent, $\mathrm {R} o^{2}-\mathrm {S} o^{3}+\ldots ,$ et la différence des deux flèches sera $2\mathrm {S} o^{3}-\ldots .$ Or il est visible que les quantités $o{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}},\ \mathrm {R} o^{2}+\mathrm {S} o^{3}+\ldots$ et $2\mathrm {S} o^{3}-\ldots$ répondent à celles que nous avons nommées $\alpha ,\gamma$ et $\delta \,:$ donc la quantité ${\frac {\alpha \delta }{4\gamma ^{2}}},$ qui exprime le rapport de la résistance à la gravité, deviendra, en divisant le haut et le bas par $o^{4},$

${\frac {\mathrm {S} {\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}}}{2(\mathrm {R+S} o)^{2}}}=\mathrm {\frac {S{\sqrt {1+Q^{2}}}}{2R^{2}}} ,$

la quantité infiniment petite $o$ s’évanouissant à côté de la quantité $\mathrm {R} .$ C’est aussi le résultat trouvé par Newton dans l’exemple premier du même problème.

Suivant notre notation, lorsque $x$ devient $x+o,$ $y$ devient

$y+oy'+{\frac {o^{2}}{2}}y''+{\frac {o^{3}}{2.3}}y'''+\ldots \,;$

donc, comparant avec la série de Newton, on a

$\mathrm {Q} =y',\quad \mathrm {R} =-{\frac {y'''}{2}},\quad \mathrm {S} =-{\frac {y'''}{2.3}}\,;$

substituant ces valeurs dans la formule précédente, le rapport de la résistance la gravité deviendra $-{\frac {y'''{\sqrt {1+y'^{2}}}}{3y''^{2}}},$ au lieu que nous l’avons trouvé ci-dessus (n^o 17) $-{\frac {y'''{\sqrt {1+y'^{2}}}}{2y''^{2}}}.$ D’où il suit que la solution de Newton est fautive.