Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/365

même exact qu’aux $\theta ^{3}$ près, de sorte qu’à la rigueur il n’y a d’exact que le résultat $\mathrm {R} ={\frac {g\left(1+\mathrm {Q} ^{2}\right)}{2u^{2}}},$ tiré de la comparaison des termes du second ordre. Pour avoir de cette manière la valeur exacte de ${\frac {r}{g}},$ en la déduisant des termes affectés de $o^{3},$ il faudrait que l’expression de la flèche en $\theta$ fût elle-même exacte jusqu’aux $\theta ^{3}\,;$ mais, le terme qui devrait suivre ${\frac {g\theta ^{2}}{2}}$ n’étant pas donné immédiatement par les principes de la Mécanique, on ne peut le trouver que par la loi de la dérivation, de la manière suivante.

22. Puisque, suivant l’hypothèse de Newton (n^o 19), $x$ croissant de $o,$ $y$ croît de $\mathrm {Q} o-\mathrm {R} o^{2}-\mathrm {S} o^{3}-\ldots ,$ et que $o{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}}=u\theta -{\frac {r\theta ^{2}}{2}}$ et $\mathrm {R} o^{2}+\mathrm {S} o^{3}={\frac {g\theta ^{2}}{2}}$ (numéro précédent), $\theta$ étant l’accroissement du temps $t,$ correspondant à l’accroissement $o$ de l’abscisse $x,$ il s’ensuit que, $t$ devenant $t+\theta ,$ $x$ devient

$x+{\frac {u}{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}}}\theta -{\frac {r}{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}}}{\frac {\theta ^{2}}{2}},$

et $y$ devient

$y+{\frac {\mathrm {Q} u}{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}}}\theta -\left({\frac {\mathrm {Q} r}{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}}}+g\right){\frac {\theta ^{2}}{2}}.$

Or, en rapportant à $t$ les fonctions dérivées $x',x'',\ldots ,y',y'',\ldots ,$ lorsque $t$ devient $t+\theta ,$ $x$ et $y$ deviennent en général

${\begin{aligned}x+x'\theta +&x''{\frac {\theta ^{2}}{2}}+x'''{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}+\ldots ,\\y+y'\theta +&y''{\frac {\theta ^{2}}{2}}+y'''{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}+\ldots \,;\end{aligned}}$

donc, comparant avec les formules précédentes, on a

${\begin{alignedat}{2}x'=&{\frac {u}{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}}},\qquad &x''=&-{\frac {r}{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}}},\\y'=&{\frac {\mathrm {Q} u}{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}}},&y''=&-{\frac {\mathrm {Q} r}{\sqrt {1+\mathrm {Q} ^{2}}}}-g.\end{alignedat}}$