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D’un autre côté, puisque $x$ et $y$ deviennent en même temps $x+o$ et $y+\mathrm {Q} o-\mathrm {R} o^{2}-\mathrm {S} o^{3}-\ldots ,$ on aura aussi

${\begin{aligned}0=&x'\theta +x''{\frac {\theta ^{2}}{2}}+x'''{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}+\ldots ,\\\mathrm {Q} o-\mathrm {R} o^{2}-\mathrm {S} o^{3}-\ldots =&y'\,\theta +y''\,{\frac {\theta ^{2}}{2}}+y'''\,{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}+\ldots .\end{aligned}}$

Donc, comme la flèche est exprimée en général par $\mathrm {R} o^{2}+\mathrm {S} o^{3}+\ldots ,$ son expression en $\theta$ sera

$\mathrm {Q} \left(x'\theta +x''{\frac {\theta ^{2}}{2}}+x'''{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}+\ldots \right)-y'\theta -y''{\frac {\theta ^{2}}{2}}-y'''{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}-\ldots$

ou

$(\mathrm {Q} x'-y')\theta +(\mathrm {Q} x''-y''){\frac {\theta ^{2}}{2}}+(\mathrm {Q} x'''-y'''){\frac {\theta ^{3}}{2.3}}+\ldots .$

Les deux premiers termes se réduisent à ${\frac {g\theta ^{2}}{2}}$ par la substitution des valeurs de $x',x'',y',y''\,;$ pour avoir le terme suivant, il n’y aura qu’à chercher les valeurs de $x''',y'''$ d’après celles de $x'',y''.$ Or on a

$y''=\mathrm {Q} x''-g,$

d’où l’on tire

$y'''=\mathrm {Q} x'''+\mathrm {Q} 'x'',\quad {\text{donc}}\quad \mathrm {Q} x'''-y'''=-\mathrm {Q} 'x''.$

Pour avoir $\mathrm {Q} ',$ je prends l’équation

$y'=\mathrm {Q} x',$

qui résulte des valeurs $x'$ et $y'$ trouvées ci-dessus, d’où l’on tire

$y''=\mathrm {Q} x''+\mathrm {Q} 'x'\,;$

donc

$\mathrm {Q} '={\frac {y''-\mathrm {Q} x''}{x'}}=-{\frac {g}{x'}},\quad {\text{donc}}\quad \mathrm {Q} x'''-y'''=g{\frac {x''}{x'}}=-{\frac {gr}{u}}.$

Il résulte de là que l’expression de la flèche, au lieu d’être simple-