Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/370

La partie de la tangente qui répond à $o$ est $o{\sqrt {1+y'^{2}}}\,;$ c’est la valeur de $\alpha .$ La partie interceptée entre la tangente et la courbe, ou la flèche, est ${\frac {o^{2}y''}{2}}+{\frac {o^{3}y'''}{2.3}}+\ldots \,;$ c’est la valeur de $\gamma .$ Ainsi l’on a, dans les deux solutions,

${\frac {\alpha }{4\gamma ^{2}}}={\frac {\sqrt {1+y'^{2}}}{o^{3}y''^{2}}}.$

À l’égard de $\delta ,$ dans la première solution, c’est la différence des flèches qui répondent à $o$ et à $-o,$ laquelle est ${\frac {o^{3}y'''}{3}}\,;$ mais, dans la seconde solution, c’est la différence des flèches qui répondent à $x$ et à $x+o.$ Or, $x$ devenant $x+o,$ $y''$ devient $y''+oy'''+\ldots \,;$ donc, négligeant les $o^{4},$ la seconde flèche sera ${\frac {o^{2}y''}{2}}+{\frac {4o^{3}y'''}{2.3}},$ et la différence des flèches sera ${\frac {o^{3}y'''}{2}}.$ Substituant dans ${\frac {\alpha \delta }{4\gamma ^{2}}}={\frac {\delta {\sqrt {1+y'^{2}}}}{o^{3}y''^{2}}}$ la première valeur de $\delta ={\frac {o^{3}y'''}{3}}$ ou la seconde ${\frac {o^{3}y'''}{2}},$ on a les deux résultats

${\frac {y'''{\sqrt {1+y'^{2}}}}{3y''^{2}}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {y'''{\sqrt {1+y'^{2}}}}{2y''^{2}}},$

dont le premier est fautif et le second exact (n^o 19).