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et, quelle que soit la liaison des deux corps qui est représentée par l’équation

$\operatorname {F} (x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta )=0,$

elle deviendra équivalente à celle d’un fil qui passe par deux poulies.

On pourrait croire que, puisque l’équation de condition

${\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}}+{\sqrt {(\xi -a)^{2}+(\eta -b)^{2}+(\zeta -c)^{2}}}-d=0,$

pour un fil simple qui passe sur deux poulies fixes, renferme sept constantes arbitraires, elle peut toujours avoir un contact du premier ordre avec une équation quelconque, puisque ce contact ne demande que sept conditions ; mais, en représentant cette équation par

$f(x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta )=0$

et prenant ses fonctions dérivées, il est visible qu’on a

$\left[f'(x)\right]^{2}+\left[f'(y)\right]^{2}+\left[f'(z)\right]^{2}=1,\quad \left[f'(\xi )\right]^{2}+\left[f'(\eta )\right]^{2}+\left[f'(\zeta )\right]^{2}=1,$

de sorte qu’on ne pourrait plus satisfaire en général aux conditions du contact :

${\begin{alignedat}{3}f'(x)=&\operatorname {F} '(x),\qquad &f'(y)=&\operatorname {F} '(y),\qquad &f'(z)=&\operatorname {F} '(z),\\f'(\xi )=&\operatorname {F} '(\xi ),&f'(\eta )=&\operatorname {F} '(\eta ),&f'(\zeta )=&\operatorname {F} '(\zeta ).\end{alignedat}}$

Cet inconvénient disparaît en prenant

$m{\sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}}+n{\sqrt {(\xi -a)^{2}+(\eta -b)^{2}+(\zeta -c)^{2}}}-d=0$

pour l’équation de condition du fil multiple, à cause des nouveaux coefficients indéterminés $m$ et $n,$ et l’on peut dire que l’équation de condition donnée

$\operatorname {F} (x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta )=0$

produit sur les corps $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ les mêmes forces que le fil,

On tire de là cette conclusion que, dans un système de deux corps dont la liaison dépend de l’équation

$\operatorname {F} (x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta )=0,$