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CHAPITRE VI.

De la loi du mouvement du centre de gravité. De la loi des aires dans la rotation autour d’un axe fixe, ou d’un seul point fixe, ou autour du centre de gravité dans les systèmes libres.

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31. Nous venons de donner la manière de déterminer les forces qui peuvent résulter de l’action mutuelle des corps dans un système quelconque et qui doivent être ajoutées aux autres forces, dans les équations du n^o 15, pour avoir les équations complètes du mouvement du système. Quoique les équations de condition

$\operatorname {F} (x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta ,\ldots )=0,\quad \Phi (x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta ,\ldots )=0,\quad \ldots ,$

qui donnent naissance à ces forces, dépendent des circonstances particulières de chaque problème, il y a néanmoins des cas généraux qui méritent d’être examinés, parce qu’ils offrent des résultats remarquables.

Le premier de ces cas est celui où les conditions du système sont indépendantes de l’origine des abscisses $x,\xi ,\ldots$ et où les fonctions désignées par les caractéristiques $\operatorname {F} ,\Phi ,\ldots$ ne contiennent que les différences $\xi -x,$ $\mathrm {x} -x,\ldots$ des abscisses. Alors il est évident que, si l’on augmente chacune des variables $x,\xi ,\ldots$ d’une même quantité $i,$ cette quantité disparaîtra d’elle-même des fonctions dont il s’agit. Or, en substituant $x+i,$ $\xi +i,\ldots$ à la place de $x,\xi ,\ldots$ dans la fonction $\operatorname {F} (x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta ,\ldots ),$ elle devient, par le développement,

$\operatorname {F} (x,y,z,\xi ,\eta ,\zeta )+i\left[\operatorname {F} '(x)+\operatorname {F} '(\xi )+\ldots \right]+\quad \ldots$