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Donc on aura nécessairement l’équation du premier ordre

$\operatorname {F} '(x)+\operatorname {F} '(\xi )+\ldots =0.$

On trouvera, de la même manière,

$\Phi '(x)+\Phi '(\xi )+\ldots =0,$

et ainsi de suite.

Or, si le système n’est soumis à d’autres forces que celles qui peuvent résulter de l’action mutuelle des corps, les équations du mouvement relatives aux coordonnées $x,\xi ,\ldots$ seront de la forme (n^o 15)

${\begin{aligned}&\mathrm {M} x''=\Pi \operatorname {F} '(x)+\Psi \Phi '(x)+\ldots ,\\&\mathrm {N} \ \xi ''\,=\Pi \operatorname {F} '(\xi )\,+\Psi \Phi '(\xi )+\ldots ,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Donc, ajoutant ces équations ensemble, on aura simplement

$\mathrm {M} x''+\mathrm {N} \xi ''+\ldots =0,$

équation indépendante des conditions du système.

Cette équation a l’équation primitive

$\mathrm {M} x'+\mathrm {N} \xi '+\ldots =a,$

et celle-ci a encore l’équation primitive

$\mathrm {M} x+\mathrm {N} \xi +\ldots =at+b,$

$a$ et $b$ étant des constantes arbitraires.

Ainsi l’on a tout de suite, dans ce cas, une relation entre les différentes abscisses $x,\xi ,\ldots .$

Il est facile de voir que le cas dont il s’agit aura lieu dans tout système entièrement libre de se mouvoir dans la direction de l’axe des abscisses, quelle que soit l’action que les corps peuvent exercer les uns sur les autres. Car alors, relativement à cet axe, les conditions du système ne pourront dépendre que de la position respective des corps, et nullement de leur position par rapport à l’origine des abscisses ; par