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On trouvera de même

$\mathrm {Y} ^{2}-2b\mathrm {Y} +b^{2}={\frac {\mathrm {M} (y-b)^{2}+\mathrm {N} (\eta -b)^{2}+\ldots }{\mathrm {M+N} +\ldots }}-{\frac {\mathrm {MN} (y-\eta )^{2}+\ldots }{(\mathrm {M+N} +\ldots )^{2}}},$

et pareillement

$\mathrm {Z} ^{2}-2c\mathrm {Z} +c^{2}={\frac {\mathrm {M} (z-c)^{2}+\mathrm {N} (\zeta -c)^{2}+\ldots }{\mathrm {M+N} +\ldots }}-{\frac {\mathrm {MN} (z-\zeta )^{2}+\ldots }{(\mathrm {M+N} +\ldots )^{2}}}.$

Si l’on fait ces substitutions dans l’expression précédente de $d^{2},$ et que l’on désigne, pour abréger, par $\mathrm {A}$ la somme des masses $\mathrm {M,N} ,\ldots ,$ multipliées chacune par le carré de sa distance au point donné, cette somme étant de plus divisée par la somme des masses ; et que l’on désigne aussi par $\mathrm {B}$ la somme des produits des masses prises deux à deux et multipliées par le carré de leurs distances respectives, cette somme étant divisée par le carré de la somme des masses, on aura

$d^{2}=\mathrm {A-B} ,\quad {\text{et par conséquent}}\quad d=\mathrm {\sqrt {A-B}} .$

Ainsi, comme la quantité $\mathrm {B}$ ne dépend que de la position respective des corps, si l’on détermine les valeurs de $\mathrm {A}$ par rapport à trois points différents, pris dans-le système ou hors du système, à volonté, on aura les distances du centre de gravité à ces points, et par conséquent sa position absolue. Si les corps étaient tous dans le même plan, il suffirait de considérer deux points, et il n’en faudrait qu’un seul si tous les corps étaient dans une même ligne droite. En prenant les trois points donnés dans les corps mêmes du système, la position du centre de gravité sera donnée simplement par les masses et par leurs distances respectives. Comme cette manière de trouver le centre de gravité est peu connue, j’ai cru pouvoir la donner ici, à cause de l’utilité dont elle peut être dans plusieurs occasions.

35. Le second cas est celui où les conditions du système sont indépendantes de la direction des axes des $x$ et $y$ sur le plan de ces coordonnées, en sorte qu’en faisant tourner ces axes autour de l’axe des $z$ d’un angle quelconque $i,$ ce qui changera les abscisses $x,\xi ,\ldots$ en