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valeurs des quantités $\mathrm {M} x'',\mathrm {M} y'',\ldots ,$ en prenant pour la fonction $f(x,y,\ldots )$ la distance ${\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}}}$ entre deux corps, et pour $\Pi$ la force absolue que ces corps exercent l’un sur l’autre (n^o 25) ; mais il est évident que la condition

$x'f'(x)+y'f'(y)+\ldots =0$

n’aurait pas lieu pour cette fonction comme pour celles qui résultent des conditions du système. Ainsi ces termes subsisteront dans l’équation indépendante des conditions du système, et l’on aura, par conséquent,

$\mathrm {M} (x'x''+y'y''+z'z'')+\mathrm {N} (\xi '\xi ''+\eta '\eta ''+\zeta '\zeta '')+\ldots$

$=\Pi \left[x'f'(x)+y'f'(y)+z'f'(z)+\xi 'f'(\xi )+\eta 'f'(\eta )+\zeta 'f'(\zeta )\right]+\ldots ,$

où l’on voit que la quantité $x'f'(x)+y'f'(y)+\ldots$ est la fonction prime relativement à $t$ de la fonction $f(x,y,z,\xi ,\ldots ),$ qui est ici

${\sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}}}.$

Donc, en général, si l’on désigne par $p$ la distance rectiligne entre les corps $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N} ,$ et par $\mathrm {P}$ la force absolue d’attraction ou de répulsion que ces corps exercent l’un sur l’autre, si l’on désigne de même par $q$ la distance rectiligne entre deux autres corps du système et par $\mathrm {Q}$ la force d’attraction ou de répulsion entre ces corps, et ainsi de suite, en prenant les quantités $\mathrm {P,Q} ,\ldots$ positivement lorsqu’elles tendent à augmenter les distances $p,q,\ldots ,$ et négativement lorsqu’elles tendent à diminuer ces distances, et qu’on nomme $u,v,\ldots$ les vitesses des corps $\mathrm {M,N} ,\ldots ,$ l’équation précédente deviendra

$\mathrm {M} uu'+\mathrm {N} vv'+\ldots =\mathrm {P} p'+\mathrm {Q} q'+\ldots ,$

qui est également indépendante des conditions du système, mais qui renferme, comme l’on voit, les forces $\mathrm {P,Q} ,\ldots$ d’attraction ou de répulsion mutuelle.

41. Enfin, si les corps étaient en même temps attirés vers des centres fixes ou repoussés de ces centres, la même équation aurait