Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 9.djvu/396

encore lieu en prenant, par exemple, $p$ pour la distance du corps $\mathrm {M}$ à un centre fixe et $\mathrm {P}$ pour la force qui vient de ce centre ; et ainsi des autres. Car on peut déduire le cas des forces tendantes à des centres fixes de celui des actions mutuelles des corps, en supposant que quelques-uns de ces corps deviennent immobiles, ce qui a lieu lorsque leurs masses sont infinies ; mais, sans avoir recours à cette démonstration indirecte, il n’y a qu’à considérer que, si le corps $\mathrm {M} ,$ par exemple, éprouve l’action d’une force $\mathrm {P}$ qui part d’un centre fixe dont la position soit déterminée par les coordonnées $l,m,n$ et dont la distance à $\mathrm {M}$ soit $p,$ il en résultera (n^o 25), dans les valeurs des quantités $\mathrm {M} x'',\mathrm {M} y'',\mathrm {M} z'',$ les termes respectifs

${\frac {\mathrm {P} (x-l)}{p}},\quad {\frac {\mathrm {P} (y-m)}{p}},\quad {\frac {\mathrm {P} (z-n)}{p}},$

et par conséquent, dans la valeur de $\mathrm {M} (x'x''+y'y''+z'z''),$ ou de $\mathrm {M} uu',$ les termes

${\frac {\mathrm {P} (x-l)x'}{p}}+{\frac {\mathrm {P} (y-m)y'}{p}}+{\frac {\mathrm {P} (z-n)z'}{p}}.$

Mais $p$ étant $={\sqrt {(x-l)^{2}+(y-m)^{2}+(z-n)^{2}}},$ on a

$p'={\frac {(x-l)x'+(y-m)y'+(z-n)z'}{p}}\,;$

donc les termes dont il s’agit se réduisent à $\mathrm {P} p'.$

D’où l’on conclura, en général, que l’équation

$\mathrm {M} uu'+\mathrm {N} vv'+\ldots =\mathrm {P} p'+\mathrm {Q} q'+\ldots .$

a lieu pour un système quelconque de corps disposés ou liés entre eux d’une manière quelconque, et qui s’attirent ou se repoussent réciproquement, ou sont attirés vers des centres fixes ou repoussés par des forces quelconques $\mathrm {P,Q} ,\ldots$ en nommant $p,q,\ldots$ les distances mutuelles des corps qui s’attirent ou se repoussent, ou leurs distances aux centres fixes d’attraction ou de répulsion, et prenant les quantités $\mathrm {P,Q} ,\ldots$ positivement ou négativement selon que ces forces seront