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ADDITION
AU CHAPITRE II DE LA PREMIÈRE PARTIE, PAGE 33.

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On peut démontrer de différentes manières la correspondance des fonctions dérivées avec les différentielles. Si l’on désigne par $dx$ la différence constante des valeurs successives $x,\ x+dx,\ x+2dx,$ $x+3dx,\ldots$ de la variable $x,$ les valeurs correspondantes de la variable $y,$ regardée comme fonction de $x,$ seront, par la formule précédente, en y faisant successivement $i=dx,\ 2dx,\ 3dx,\ldots ,$

${\begin{alignedat}{3}y&,\\y&+&y'dx&+&{\frac {y''dx^{2}}{2}}\ \ &+&\ \ {\frac {y'''dx^{3}}{2.3}}&+&\ \ {\frac {y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{4}}{2.3.4}}&+&\ldots ,\\y&+&2y'dx&+&{\frac {4y''dx^{2}}{2}}\ &+&\ {\frac {8y'''dx^{3}}{2.3}}&+&\ {\frac {16y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{4}}{2.3.4}}&+&\ldots ,\\y&+&3y'dx&+&{\frac {9y''dx^{2}}{2}}&+&{\frac {27y'''dx^{3}}{2.3}}&+&\ {\frac {81y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{4}}{2.3.4}}&+&\ldots ,\\y&+&4y'dx&+&{\frac {16y''dx^{2}}{2}}&+&{\frac {64y'''dx^{3}}{2.3}}&+&{\frac {256y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{4}}{2.3.4}}&+&\ldots ,\end{alignedat}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .$

Si l’on prend, par des soustractions successives, les différences premières, secondes, troisièmes, etc., de ces valeurs, et qu’on les dénote par $dy,d^{2}y,d^{3}y,\ldots ,$ on aura

${\begin{alignedat}{3}dy\ &=&\ \ y'dx\ \ &+&{\frac {y''dx^{2}}{2}}&+&\quad {\frac {y'''dx^{3}}{2.3}}&+&{\frac {y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{4}}{2.3.4}}&+&\ldots ,\\d^{2}y&=&{\frac {2y''dx^{2}}{2}}&+&{\frac {6y'''dx^{3}}{2.3}}&+&{\frac {14y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{4}}{2.3.4}}&+&\ldots ,\\d^{3}y&=&{\frac {6y'''dx^{3}}{2.3}}&+&{\frac {36y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{4}}{2.3.4}}&+&\ldots ,\\d^{3}y&=&{\frac {24y^{\scriptscriptstyle {\text{IV}}}dx^{4}}{2.3.4}}&+&\ldots ,\qquad \\\end{alignedat}}$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .$