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Supposons que la différence $dx$ devienne infiniment petite.: les puissances $dx^{2},dx^{3},\ldots$ deviendront infiniment petites, chacune par rapport à celle qui précède, et les séries qui expriment les valeurs des différences $dy,d^{2}y,$ $d^{3}y,\ldots$ se trouveront composées de termes infiniment petits, chacun relativement au précédent, de sorte qu’en négligeant les infiniment petits d’un ordre supérieur relativement à ceux, d’un ordre inférieur, on aura simplement

$dy=y'dx,\quad d^{2}y=y''dx^{2},\quad d^{3}y=y'''dx^{3},\quad \ldots ,$

et par conséquent

$y'={\frac {dy}{dx}},\quad y''={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\quad y'''={\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},\quad \ldots .$

On voit par là comment la supposition des infiniment petits peut servir à trouver les fonctions dérivées, et l’on peut en conclure que les expressions différentielles ${\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\ldots ,$ au lieu d’exprimer ce qu’elles paraissent représenter, ne sont à la rigueur que des symboles qui dénotent des fonctions différentes de la fonction primitive $y,$ mais dérivées de celle-ci suivant certaines lois. [Voir, dans la nouvelle édition des Leçons sur le Calcul des fonctions, la Leçon XVIII, qui contient des remarques importantes sur le passage du fini à l’infiniment petit^[1].]

fin du tome neuvième.

1. Œuvres de Lagrange, t. X.