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THÉORIE DES FONCTIONS ANALYTIQUES.

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Note de M. J.-A. SERRET.

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I. La théorie remarquable exposée dans les Chapitres III et IV de la deuxième Partie fait connaître l’intégrale première et la solution singulière d’une classe assez étendue d’équations différentielles il s’agit des équations auxquelles conduisent les problèmes inverses sur le contact des courbes, et dans lesquelles n’entrent que les éléments mêmes du contact. Le succès de la méthode est dû à cette seule circonstance que les éléments du contact sont des fonctions de $x,y$ et des dérivées de $y,$ qui, étant égalées à des constantes arbitraires, fournissent autant d’intégrales premières d’une même équation différentielle ; aussi peut-on donner un peu plus de généralité au théorème de Lagrange.

Désignons par $\alpha$ et $\beta$ deux constantes arbitraires, et supposons que les équations

(1)

$\left\{{\begin{aligned}\varphi \left(x,y',y'',\ldots ,y^{m}\right)=&\alpha ,\\\psi \left(x,y',y'',\ldots ,y^{m}\right)=&\beta \end{aligned}}\right.$

soient deux intégrales premières d’une même équation différentielle de l’ordre $m+1,$ (2)

(2)

$\mathrm {V} =0,$

$y',y'',\ldots$ étant mis au lieu de ${\frac {dy}{dx}},{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\ldots .$

Si l’on élimine $y^{m}$ entre les deux équations (1), on obtiendra une équation différentielle de l’ordre $m-1\,:$

(3)

$f(x,y,y',\ldots ,y^{m-1},\alpha ,\beta )=0.$

Cela posé, l’équation (3), qui est une intégrale seconde de l’équation (2) et une intégrale première de l’une quelconque des équations (1), sera également une intégrale première de l’équation

(4)

$\operatorname {F} (\varphi ,\psi )=0,$

où $\operatorname {F}$ désigne une fonction quelconque, pourvu que l’on considère les deux constantes $\alpha$ et $\beta$ comme assujetties à vérifier l’équation

(5)

$\operatorname {F} (\alpha ,\beta )=0.$