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Ce théorème est presque évident, car les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ que l’on tirerait de l’équation (3) et de sa dérivée seraient $\alpha =\varphi ,\ \beta =\psi ,$ et, comme l’équation (5) a lieu entre les constantes $\alpha$ et $\beta ,$ il s’ensuit que l’équation (4) se trouvera aussi vérifiée. Si les fonctions $\varphi$ et $\psi$ ne renfermaient que $x,y$ et $y',$ l’équation (3) ne contiendrait plus de dérivées et serait, par suite, l’intégrale générale de l’équation proposée. Il résulte de là que, si, parmi les différentes manières, en nombre infini, d’écrire une équation différentielle, on en distingue une qui permette de lui donner la forme de l’équation (4), on aura, par cela seul, intégré une première fois cette équation.

II. Proposons-nous, comme application, de chercher l’équation intégrale des lignes de courbure d’une surface du second ordre à centre. L’équation de la surface étant

(1)

${\frac {x^{2}}{\rho ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\rho ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\rho ^{2}-c^{2}}}=1,$

l’équation différentielle des projections des lignes de courbure sur le plan $xy$ sera

(2)

${\frac {c^{2}}{\rho ^{2}}}\left(x^{2}-{\frac {xy}{y'}}\right)-{\frac {c^{2}-b^{2}}{\rho ^{2}-b^{2}}}\left(y^{2}-xyy'\right)-b^{2}=0\,;$

si maintenant on pose

${\frac {c^{2}}{\rho ^{2}}}\left(x^{2}-{\frac {xy}{y'}}\right)=\alpha ,\quad {\frac {c^{2}-b^{2}}{\rho ^{2}-b^{2}}}\left(y^{2}-xyy'\right)=\beta ,$

ces équations seront les intégrales premières de la même équation

$xyy''-yy'+xy'^{2}=0\,;$

on pourra donc appliquer le théorème à l’équation (2). Si l’on élimine $y'$ entre celles-ci, on aura

${\frac {c^{2}}{\rho ^{2}}}{\frac {x^{2}}{\alpha }}+{\frac {c^{2}-b^{2}}{\rho ^{2}-b^{2}}}{\frac {y^{2}}{\beta }}=1,\quad {\text{avec}}\quad \beta =\alpha -b^{2}\,;$

nous ferons $\alpha =\mu ^{2},\ \beta =\mu ^{2}-b^{2},$ et l’équation des projections des lignes de courbure sera finalement

(3)

${\frac {c^{2}x^{2}}{\rho ^{2}\mu ^{2}}}+{\frac {\left(c^{2}-b^{2}\right)y^{2}}{\left(\rho ^{2}-b^{2}\right)\left(\mu ^{2}-b^{2}\right)}}=1,$

$\mu ^{2}$ étant la constante arbitraire elle représente, comme on sait, des ellipses ou des hyperboles. Comme l’équation (3) est symétrique entre $\rho$ et $\mu ,$ si l’on considère $\rho$ comme un paramètre variable et $\mu$ comme déterminé, l’équation (3) représentera également les projections des lignes de courbure de la surface

(4)

${\frac {x^{2}}{\mu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\mu ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\mu ^{2}-c^{2}}}=1,$

et, si $\rho$ et $\mu$ ont en même temps des valeurs déterminées, l’équation (3) représentera la projection d’une ligne de courbure commune aux surfaces (1) et (4), laquelle sera donc l’intersection de ces deux surfaces.

Si dans l’équation (1) on a $\rho >c>b,$ $\mu$ devra être compris entre $b$ et $c,$ ou inférieur à ces deux quantités, car autrement les deux surfaces ne se couperaient pas. On conclut de là