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que les trois équations

(5)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {x^{2}}{\rho ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\rho ^{2}-b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\rho ^{2}-c^{2}}}&=1,\\{\frac {x^{2}}{\mu ^{2}}}+{\frac {y^{2}}{\mu ^{2}-b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}-\mu ^{2}}}&=1,\\{\frac {x^{2}}{\nu ^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}-\nu ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}-\nu ^{2}}}&=1,\end{aligned}}\right.$

dans lesquelles $b$ et $c>b$ sont des constantes déterminées, $\rho ,\mu ,\nu$ trois paramètres variables compris, le premier entre $c$ et $\infty ,$ le second entre $b$ et $c,$ et le troisième entre zéro et $b,$ représentent trois systèmes de surfaces telles, que l’une quelconque des surfaces de l’un de ces systèmes sera coupée, suivant ses lignes de courbure, par toutes les surfaces des deux autres systèmes. Il en résulte que les surfaces (5) sont orthogonales entre elles.

C’est au même principe que l’on doit rattacher l’intégration de l’équation si connue

$y=y'x+\operatorname {F} (y'),$

car, si l’on fait

${\begin{aligned}y'=&\alpha ,\\y-y'x=&\beta ,\end{aligned}}$

à cause que les deux équations qui précèdent sont les deux intégrales premières de l’équation

$y''=0,$

l’équation

$y=\alpha x+\beta ,$

qui résulte de l’élimination de $y',$ sera l’intégrale générale de la proposée, pourvu que les constantes $\alpha$ et $\beta$ soient unies par la relation

$\beta =\operatorname {F} (\alpha ),$

et l’on obtient finalement

$y=\alpha x+\operatorname {F} (\alpha ),$

où $\alpha$ désigne la constante arbitraire. Au surplus, dans la question actuelle, les fonctions $y'$ et $y-y'x,$ entre lesquelles a lieu l’équation proposée, ne sont autres que les éléments du contact du premier ordre.

III. Les équations différentielles dont il vient d’être question, et dont on détermine si aisément une intégrale première, admettent, en général, des solutions singulières, ainsi que Lagrange l’a remarqué la théorie de ces solutions singulières peut être présentée trèssimplement à l’aide de considérations géométriques, identiques à celles que l’on emploie dans la recherche des développantes des courbes planes.

Lorsqu’on donne l’équation d’une courbe en coordonnées rectangulaires $x$ et $y,$ on obtient, comme on sait, l’équation de la développée en éliminant $x$ et $y$ à l’aide de la proposée et des deux suivantes,

(1)

$\left\{{\begin{aligned}&x-{\frac {y'\left(1+y'^{2}\right)}{y''}}=\alpha ,\\&y+{\frac {1+y'^{2}}{y''}}=\beta ,\end{aligned}}\right.$

dans lesquelles $\alpha$ et $\beta$ représentent les coordonnées du centre de courbure.