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On a d’ailleurs

${\frac {d\operatorname {F} }{d\alpha }}d\alpha +{\frac {d\operatorname {F} }{d\beta }}d\beta =0\,;$

donc

(5)

${\frac {\cfrac {df}{d\alpha }}{\cfrac {d\operatorname {F} }{d\alpha }}}={\frac {\cfrac {df}{d\beta }}{\cfrac {d\operatorname {F} }{d\beta }}},$

équation qui établit une relation entre chaque point de la courbe singulière et le point directeur correspondant.

Si des équations (4) et (5) on tire les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ pour les porter dans l’équation (2), ou, ce qui revient au même, si l’on élimine $\alpha$ et $\beta$ à l’aide des équations (2), (4) et (5), on obtiendra une équation différentielle de l’ordre $m-1,$

$\Pi \left(x,y,y',\ldots ,y^{m-1}\right)=0,$

sans constante arbitraire, et qui sera une solution singulière de l’équation (3).

Bornons-nous à indiquer une seule application des résultats qui précèdent.

On demande quelle est la courbe jouissant de la propriété que, si $\mathrm {M}$ est un de ses points, $\mathrm {C}$ le centre de courbure en ce point, et $\mathrm {M} '$ la position du point $\mathrm {M}$ auquel on fait faire un quart de révolution autour d’un point fixe, l’on ait $\mathrm {CM} '=$ une constante $\mathrm {K} .$

L’équation différentielle du second ordre est

$\left[x-y-{\frac {y'\left(1+y'^{2}\right)}{y''}}\right]^{2}+\left(x+y+{\frac {1+y'^{2}}{y''}}\right)^{2}=\mathrm {K} ^{2}\,;$

on trouve pour intégrale première

${\frac {(x-\alpha )-(y-\beta )}{(x-\alpha )+(y-\beta )}}+{\frac {dy}{dx}}=0,$

avec

$\alpha ^{2}+\beta ^{2}={\frac {\mathrm {K} ^{2}}{2}},$

et pour solution singulière

$(x-y)+(x+y){\frac {dy}{dx}}=\mathrm {K} {\sqrt {1+{\frac {dy^{2}}{dx^{2}}}}}\,;$

l’intégrale générale représente ici des spirales logarithmiques, la solution singulière des courbes beaucoup plus compliquées.

V. On démontrerait absolument, comme au n^o I, que, si

$\varphi =\alpha ,\quad \psi =\beta ,\quad \varpi =\gamma ,\quad \ldots$

sont $n$ intégrales premières d’une même équation différentielle et que

$f=0$