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tion suivante, dans laquelle j’emploie, pour abréger, la quantité $\mathrm {A}$ déterminée ci-dessus,

$x\mathrm {A} =(y-1)-{\frac {1}{2}}(y-1)^{2}+{\frac {1}{3}}(y-1)^{3}-\ldots ,$

d’où l’on tire

$x=\log y={\frac {(y-1)-{\frac {1}{2}}(y-1)^{2}+{\frac {1}{3}}(y-1)^{3}-\ldots }{\mathrm {A} }},$

formule connue et qui s’accorde avec celle du n^o 13, $\mathrm {A}$ étant égal à $\operatorname {l} a.$

20. Mais cette formule n’est convergente que lorsque le nombre $y,$ dont elle donne le logarithme, est peu différent de l’unité. Aussi n’estelle d’aucune utilité pour le calcul des logarithmes ordinaires. Voici un moyen de la rendre convergente pour tous les nombres.

Il est évident que l’équation fondamentale $y=a^{x}$ peut se changer en celle-ci $y^{m}=a^{mx},$ $m$ étant un nombre quelconque entier ou fractionnaire. Employant donc cette dernière formule à la place de l’autre, il n’y aura qu’à changer dans celle-ci $y$ en $y^{m}$ et $x$ en $mx.$ On aura ainsi, en général,

$\log y={\frac {(y^{m}-1)-{\frac {1}{2}}(y^{m}-1)^{2}+{\frac {1}{3}}(y^{m}-1)^{3}-\ldots }{m\mathrm {A} }},$

où l’on pourra prendre pour $m$ une fraction ${\frac {1}{r}},$ telle que ${\sqrt[{r}]{y}}$ soit toujours un nombre aussi peu différent de l’unité qu’on voudra.

Supposons, ce qui est toujours possible, que la racine $r$ de $y$ ne contienne que l’unité avant la virgule, et qu’après la virgule il y ait $s$ zéros ; alors, si l’on s’arrête à $2s$ décimales, il est visible que le terme $\left(y^{m}-1\right)^{2}$ et à plus forte raison les termes suivants ne donneront rien, de sorte qu’on aura simplement, dans ce cas,

$\log y={\frac {y^{m}-1}{m\mathrm {A} }}=r{\frac {{\sqrt[{r}]{y}}-1}{\mathrm {A} }}.$

De la même manière, on aura aussi, sous les mêmes conditions,

$\mathrm {A} =\operatorname {l} a=r\left({\sqrt[{r}]{a}}-1\right),$