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et par conséquent

$\log y={\frac {{\sqrt[{r}]{y}}-1}{{\sqrt[{r}]{a}}-1}}.$

C’est par cette formule que Briggs a calculé les premiers logarithiries. Il avait remarqué qu’en faisant des extractions successives de racines carrées d’un nombre quelconque, si l’on s’arrête, dans une de ces extractions, à deux fois autant de décimales qu’il y aura de zéros à la suite de l’unité, lorsqu’il n’y a plus que l’unité avant la virgule, la partie décimale de cette racine se trouve toujours la moitié de celle de la racine précédente, en sorte que ces parties décimales ont entre elles le même rapport que les logarithmes des racines mêmes ; c’est ce qui résulte évidemment des formules précédentes.

Ainsi, en prenant $r=2^{60},$ on trouve, pour $a=10,$

${\begin{aligned}{\sqrt[{r}]{a}}=&1{,}00000\ 00000\ 00000\ 00199\ 71742\ 08125\ 50527,\\{\frac {1}{r}}=&0{,}00000\ 00000\ 00000\ 00086\ 73617\ 37988\ 40354,\end{aligned}}$

de sorte que

${\frac {1}{r}}.{\frac {1}{{\sqrt[{r}]{a}}-1}}={\frac {86736173798840354}{199717420812550527}}=0{,}43429\ 44819\ 03251\ldots$

$={\frac {1}{\mathrm {A} }}={\frac {1}{\operatorname {l} a}}=\log e.$

Si maintenant on veut avoir, par exemple, le logarithme de $3,$ on fera $y=3,$ et, employant de même $60$ extractions de racines carrées, on trouvera

${\sqrt[{r}]{y}}=1{,}00000\ 00000\ 00000\ 00095\ 28942\ 64074\ 58932\ldots ,$

et de là

$\log y={\frac {{\sqrt[{r}]{y}}-1}{{\sqrt[{r}]{a}}-1}}={\frac {95289426407458932\ldots }{199717420812550527\ldots }}=0{,}47712\ 12547\ 19662.$

Cette méthode est, comme l’on voit, très-laborieuse, par le grand nombre d’extractions de racines qu’elle demande pour avoir un résultat