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n’entrerons dans aucun détail sur ce point pour ne pas trop nous écarter de notre sujet.

27. Supposons en second lieu que la même valeur de $x$ qui fait disparaître un radical dans $f(x)$ le fasse disparaître aussi dans $f'(x),$ sans le faire disparaître néanmoins dans $f''(x)\,;$ alors les valeurs correspondantes de $f(x)$ et de $f'(x)$ seront en même nombre, mais celles de $f''(x)$ seront en nombre plus grand. Si donc on détruit ce radical dans l’équation $y=f(x),$ la valeur de $y''$ qu’on en déduira se trouvera égale à ${\frac {0}{0}},$ et il faudra passer aux équations dérivées d’un ordre supérieur pour avoir la valeur de $y''.$

Soit

$y=(x-a)^{2}{\sqrt {x-b}}\,;$

on aura

${\begin{aligned}y'\ =&(x-a){\sqrt {x-b}}+{\frac {(x-a)^{2}}{2{\sqrt {x-b}}}},\\y''=&2{\sqrt {x-b}}+{\frac {2(x-a)}{\sqrt {x-b}}}-{\frac {(x-a)^{2}}{4(x-b)^{\frac {3}{2}}}}\,;\end{aligned}}$

faisant $x=a,$ on a

$y=0,\quad y'=0\quad {\text{et}}\quad y''=2{\sqrt {x-b}}=2{\sqrt {a-b}}.$

Mais, si l’on réduit l’équation proposée à cette forme rationnelle

$y^{2}=(x-a)^{4}(x-b),$

on en tirera l’équation prime

$2yy'=4(x-a)^{3}(x-b)+(x-a)^{4},$

laquelle donne, lorsque $x=a,$

$y'={\frac {0}{0}},$

à cause de $y=0,$ à moins qu’en substituant la valeur de $y$ on ne divise le tout par $(x-a)^{2}$ et qu’ensuite on ne fasse $x=a,$ ce qui donnera $y'=0.$