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mière fonction qui devient infinie, le développement dont il s’agit devra contenir un terme de la forme $i^{m},$ $m$ étant un nombre compris entre $n-1$ et $n.$

Et, si toutes les fonctions $f(x),f'(x),f''(x),\ldots$ devenaient infinies pour la même valeur de $x,$ le développement de $f(x+i)$ contiendrait dans ce cas des puissances négatives de $i.$

Pour trouver alors la vraie forme du développement suivant les puissances ascendantes de $i,$ il faudra faire d’abord, dans la fonction $f(x+i),$ $x$ égal à la valeur donnée, et développer ensuite suivant les puissances croissantes de $i$ par les règles connues, en ayant égard aux puissances fractionnaires ou négatives de $i$ qui se trouveraient dans la fonction même.

Au reste, nous remarquerons que, en faisant $y=f(x),$ et prenant $x$ et $y$ pour les coordonnées d’une courbe, cette courbe aura dans le point où l’une des fonctions $y,y',y'',\ldots$ devient infinie, ainsi que toutes les suivantes, un rebroussement dont l’espèce dépendra de l’indice $n,$ pourvu que l’exposant fractionnaire $m$ ait pour dénominateur un nombre pair, et l’on déterminera la nature du rebroussement par la forme du développement de $f(x+i)$ dans ce cas.

31. Dans l’exemple du n^o 27, où

$y=(x-a){\sqrt {x-b}},$

on voit que la supposition de $x=b$ détruit le radical dans $y$ et doit, par conséquent, le détruire aussi dans les fonctions dérivées $y',y'',\ldots .$ Donc le développement

$f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+\ldots$

de $f(x+i),$ en supposant

$y=f(x)=(x-a){\sqrt {x-b}},$

sera fautif dans le cas de $x=b.$ En effet, on aura, dans ce cas,

$y=0,\quad y'={\sqrt {x-b}}+{\frac {x-a}{2{\sqrt {x-b}}}}=\infty ,$