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de sorte qu’en faisant $i=0$ on aura ${\frac {1}{\sqrt {2a}}}$ pour la valeur cherchée de la fraction lorsque $x=a.$

En effet, si, suivant la méthode du n^o 28, on prend les fonctions primes du numérateur et du dénominateur, on aura

${\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}+{\frac {1}{2{\sqrt {x-a}}}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {x}{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}},$

quantités qui deviennent infinies lorsque $x=a,;$ mais, en les multipliant l’une et l’autre par $2{\sqrt {x-a}},$ la nouvelle fraction sera

${\cfrac {{\cfrac {\sqrt {x-a}}{\sqrt {x}}}+1}{\cfrac {2x}{\sqrt {x+a}}}},$

laquelle, en faisant $x=a,$ devient ${\frac {1}{\sqrt {2a}}},$ comme plus haut.

Nous avons donc résolu les difficultés qui peuvent se rencontrer dans le développement de $f(x+i),$ et, quoique nous n’ayons considéré que des fonctions algébriques, il n’est pas difficile d’étendre nos solutions aux fonctions transcendantes. Comme ces difficultés n’ont lieu que pour des valeurs particulières de $x,$ il est clair qu’elles n’influent en rien sur la théorie des fonctions dérivées $f'(x),f''(x),\ldots \,;$ mais il était nécessaire de les examiner et de donner les moyens de les lever, pour ne laisser aucun nuage sur cette théorie. [Voir aussi la Leçon VIII du Calcul des fonctions^[1].]

1. Œuvres de Lagrange, t. X.