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CHAPITRE VI.

Résolution générale des fonctions en séries. Développement des fonctions en séries terminées et composées d’autant de termes qu’on voudra. Moyen d’exprimer les restes depuis un terme quelconque proposé. Théorème nouveau sur ces séries

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33. Nous avons vu jusqu’ici comment on peut trouver directement tous les termes du développement de la fonction $f(x+i)$ suivant les puissances de $i\,;$ on peut, de la même manière, développer une fonction quelconque suivant les puissances ascendantes d’une des variables contenues dans la fonction.

En effet, si l’on reprend la formule

$f(x+i)=f(x)+if'(x)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x)+{\frac {i^{3}}{2.3}}f'''(x)+\ldots ,$

puisque $x$ et $i$ sont deux quantités indéterminées, on y peut substituer $x-i$ à la place de $x,$ ce qui donnera

$f(x)=f(x-i)+if'(x-i)+{\frac {i^{2}}{2}}f''(x-i)+\ldots .$

De plus, on pourra mettre $xz$ à la place de $i,$ et l’on aura

$f(x)=f(x-xz)+xzf'(x-xz)+{\frac {x^{2}z^{2}}{2}}f''(x-xz)+\ldots ,$

où $z$ est une quantité arbitraire quelconque.

Ici $f(x)$ représente, comme l’on voit, une fonction quelconque de $x,$ et $f'(x-xz),f''(x-xz),\ldots$ représentent les fonctions primes, se-