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équation qui, devant être identique, c’est-à-dire avoir lieu quel que soit $x,$ pour que l’expression supposée de $y$ soit vraie, donnera autant d’équations particulières qu’il y a de différentes puissances de $x,$ et l’on tirera de ces équations

${\begin{aligned}\mathrm {B} =&{\frac {mb\mathrm {A} }{a}},\\\mathrm {C} =&{\frac {2mc\mathrm {A} +(m-1)b\mathrm {B} }{2a}},\\\mathrm {D} =&{\frac {3md\mathrm {A} +(2m-1)c\mathrm {B} +(m-2)b\mathrm {C} }{3a}},\\.\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

On aura ainsi successivement tous les coefficients $\mathrm {B,C,D} ,\ldots$ par des formules dont la loi est visible, et qu’on pourra, par conséquent, continuer aussi loin qu’on voudra.

Mais le premier coefficient $\mathrm {A}$ demeure indéterminé ; il faut, pour le déterminer, recourir à l’équation primitive $y=\mathrm {X} ^{m}\,;$ faisant $x=0,$ on a d’un côté $\mathrm {X} =a$ et de l’autre $y=\mathrm {A} \,;$ donc $\mathrm {A} =a^{m}.$

43. On peut de même, par les fonctions dérivées, faire disparaître les logarithmes, les exponentielles et les sinus et cosinus.

En effet, si $y=\operatorname {l} \mathrm {X} ,$ on aura l’équation du premier ordre

$y'\mathrm {X-X'} =0\,;$

si $y=e^{x},$ on aura celle-ci

$y'-\mathrm {X'} y=0\,;$

mais, pour faire disparaître les sinus ou cosinus, il faudra aller à une équation du second ordre.

Soit donc $y=\sin \mathrm {X} ,$ $\mathrm {X}$ étant toujours une fonction quelconque de $x\,;$ en prenant les fonctions primes, on aura (n^o 14)

$y'=\mathrm {X} '\cos \mathrm {X} ,$

et, prenant de nouveau les fonctions primes,

$y''=\mathrm {X''\cos X-X'^{2}\sin X} \,;$