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donc, éliminant de ces trois équations $\sin \mathrm {X}$ et $\cos \mathrm {X} ,$ on aura cette équation dérivée du second ordre

$\mathrm {X} 'y''-\mathrm {X} ''y'+\mathrm {X} '^{3}y=0,$

où il n’y a plus de transcendantes ; on trouvera la même équation en faisant $y=\cos \mathrm {X} .$

Si l’on fait ici pour $\mathrm {X}$ et $y$ les mêmes substitutions que ci-dessus (n^o 42), et qu’après avoir ordonné les termes suivant les puissances de $x$ on égale à zéro la somme de tous ceux qui se trouveront multipliés par la même puissance de $x,$ on aura autant d’équations particulières qui serviront à déterminer les coefficients indéterminés de l’expression supposée de $y$ par les deux qui précèdent. À l’égard des deux premiers, ils demeureront indéterminés ; mais il faudra les déterminer de manière que l’équation primitive et l’équation prime aient lieu en faisant $x=0.$ Or l’équation $y=\sin \mathrm {X}$ devient alors $\mathrm {A} =\sin a,$ et l’équation $y'=\mathrm {X'\cos X}$ devient $\mathrm {B} =b\cos a.$

44. Non-seulement l’équation dérivée du second ordre que nous venons de trouver peut servir à développer en série la valeur de $\sin \mathrm {X}$ ou $\cos \mathrm {X} \,;$ elle peut servir aussi à trouver une autre transformation de cette valeur au moyen des exponentielles.

Supposons, en effet, $y=e^{\mathrm {V} },$ $e$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité (n^o 12) et $\mathrm {V}$ une fonction indéterminée de $x.$ En prenant les fonctions primes et secondes, on aura

$y'=\mathrm {V} 'e^{\mathrm {V} },\quad y''=\mathrm {\left(V'^{2}+V''\right)} e^{\mathrm {V} },$

et, ces valeurs étant substituées dans l’équation dont il s’agit, on aura, après la division par la quantité $e^{\mathrm {V} }$ qui en multiplie tous les termes,

$\mathrm {X'\left(V''+V'^{2}\right)-X''V'+X'^{3}} =0.$

J’observe qu’on peut satisfaire à cette équation en faisant

$\mathrm {V} '=m\mathrm {X} ',$