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rence consiste dans les constantes $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ qui doivent se déterminer par la comparaison des valeurs de $y$ et de $y'$ pour une valeur quelconque de $\mathrm {X} .$ Ainsi, puisque $\sin \mathrm {X}$ doit devenir nul lorsque $\mathrm {X} =0$ par la nature des sinus, il faudra que l’on ait

$\mathrm {A+B} =0\,;$

de plus, $y'$ étant égal à $\mathrm {X'\cos X}$ et l’expression précédente de $y$ donnant

$y'=\mathrm {X} '\left(\mathrm {A} e^{\mathrm {X} {\sqrt {-1}}}-\mathrm {B} e^{-\mathrm {X} {\sqrt {-1}}}\right){\sqrt {-1}},$

on aura

$\cos \mathrm {X} =\left(\mathrm {A} e^{\mathrm {X} {\sqrt {-1}}}-\mathrm {B} e^{-\mathrm {X} {\sqrt {-1}}}\right){\sqrt {-1}}.$

Faisant $\mathrm {X} =0,$ on sait que $\cos \mathrm {X} =1\,;$ donc

$(\mathrm {A-B} ){\sqrt {-1}}=1.$

Ces deux équations donnent

$\mathrm {A} ={\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\quad {\text{et}}\quad \mathrm {B} =-{\frac {1}{2{\sqrt {-1}}}}\,;$

donc enfin

$\sin \mathrm {X} ={\frac {e^{\mathrm {X} {\sqrt {-1}}}-e^{-\mathrm {X} {\sqrt {-1}}}}{2{\sqrt {-1}}}}\,;$

on trouvera de la même manière

$\cos \mathrm {X} ={\frac {e^{\mathrm {X} {\sqrt {-1}}}+e^{-\mathrm {X} {\sqrt {-1}}}}{2}},$

expressions connues et que nous avions déjà trouvées par une autre voie (n^o 22).

45. Dans les exemples précédents, nous avons cherché l’équation dérivée et nous avons ensuite déterminé par cette équation la valeur de la fonction primitive $y.$ Cette dernière opération est, comme l’on voit, l’inverse de celle par laquelle on descend de la fonction primitive aux fonctions dérivées ; elle peut toujours s’exécuter par le moyen des séries, en employant, comme nous l’avons fait, une série avec des